Ejercicio$\int\sec^3\left(x\right)dx$
Solución explicada paso por paso
1
Reescribir $\sec\left(x\right)^3$ como el producto de dos secantes
$\int\sec\left(x\right)^2\sec\left(x\right)dx$
2
Podemos resolver la integral $\int\sec\left(x\right)^2\sec\left(x\right)dx$ aplicando el método de integración por partes para calcular la integral del producto de dos funciones, mediante la siguiente fórmula
$\displaystyle\int u\cdot dv=u\cdot v-\int v \cdot du$
Pasos intermedios
3
Primero, identificamos $u$ y calculamos su derivada, $du$
$\begin{matrix}\displaystyle{u=\sec\left(x\right)}\\ \displaystyle{du=\sec\left(x\right)\tan\left(x\right)dx}\end{matrix}$
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4
Luego, identificamos $dv$ y calculamos $v$
$\begin{matrix}\displaystyle{dv=\sec\left(x\right)^2dx}\\ \displaystyle{\int dv=\int \sec\left(x\right)^2dx}\end{matrix}$
5
Calcular la integral para hallar $v$
$v=\int\sec\left(x\right)^2dx$
6
La integral de $\sec(x)^2$ es $\tan(x)$
$\tan\left(x\right)$
Pasos intermedios
7
Con los valores obtenidos, sustituimos $u$, $du$ y $v$ en la fórmula general
$\tan\left(x\right)\sec\left(x\right)-\int\sec\left(x\right)\tan\left(x\right)^2dx$
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Pasos intermedios
8
Podemos identificar que la integral es de la forma $\int\tan^m(x)\sec^n(x)dx$. Si la potencia $n$ es impar y $m$ es par, entonces debemos expresar todas las funciones en términos de secantes, expandir e integrar por separado
$\tan\left(x\right)\sec\left(x\right)-\int\sec\left(x\right)\left(\sec\left(x\right)^2-1\right)dx$
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Pasos intermedios
9
Multiplicar el término $\sec\left(x\right)$ por cada término del polinomio $\left(\sec\left(x\right)^2-1\right)$
$\tan\left(x\right)\sec\left(x\right)-\int\left(\sec\left(x\right)^{3}-\sec\left(x\right)\right)dx$
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Pasos intermedios
10
Simplificamos la expresión
$\tan\left(x\right)\sec\left(x\right)-\int\sec\left(x\right)^{3}dx+\int\sec\left(x\right)dx$
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Pasos intermedios
11
La integral $\int\sec\left(x\right)dx$ da como resultado: $\ln\left(\sec\left(x\right)+\tan\left(x\right)\right)$
$\ln\left(\sec\left(x\right)+\tan\left(x\right)\right)$
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12
Cuando al integrar por partes nos vuelve a aparecer la integral que estamos calculando (se formó un ciclo), ésta se resuelve como una ecuación. Entonces lo que hacemos es pasar la integral repetida al lado izquierdo de la ecuación, con signo contrario
$\int\sec\left(x\right)^{3}dx=\tan\left(x\right)\sec\left(x\right)-\int\sec\left(x\right)^{3}dx+\ln\left(\sec\left(x\right)+\tan\left(x\right)\right)$
13
Pasar la integral cíclica al lado izquierdo de la ecuación
$\int\sec\left(x\right)^{3}dx+\int\sec\left(x\right)^{3}dx=\tan\left(x\right)\sec\left(x\right)+\ln\left|\sec\left(x\right)+\tan\left(x\right)\right|$
14
Sumando las integrales
$2\int\sec\left(x\right)^{3}dx=\tan\left(x\right)\sec\left(x\right)+\ln\left|\sec\left(x\right)+\tan\left(x\right)\right|$
15
Movemos la parte constante $2$ dividiendo al otro miembro de la ecuación
$\int\sec\left(x\right)^{3}dx=\frac{1}{2}\left(\tan\left(x\right)\sec\left(x\right)+\ln\left|\sec\left(x\right)+\tan\left(x\right)\right|\right)$
16
La integral nos da como resultado
$\frac{1}{2}\left(\tan\left(x\right)\sec\left(x\right)+\ln\left|\sec\left(x\right)+\tan\left(x\right)\right|\right)$
17
Después de juntar los resultados de todas las integrales individuales, obtenemos
$\frac{1}{2}\left(\tan\left(x\right)\sec\left(x\right)+\ln\left|\sec\left(x\right)+\tan\left(x\right)\right|\right)$
18
Como la integral que estamos resolviendo es una integral indefinida, al terminar de integrar debemos añadir la constante de integración $C$
$\frac{1}{2}\left(\tan\left(x\right)\sec\left(x\right)+\ln\left|\sec\left(x\right)+\tan\left(x\right)\right|\right)+C_0$
Pasos intermedios
19
Expandir y simplificar
$\frac{1}{2}\tan\left(x\right)\sec\left(x\right)+\frac{1}{2}\ln\left|\sec\left(x\right)+\tan\left(x\right)\right|+C_0$
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Respuesta final al problema $\frac{1}{2}\tan\left(x\right)\sec\left(x\right)+\frac{1}{2}\ln\left|\sec\left(x\right)+\tan\left(x\right)\right|+C_0$
