Respuesta final al problema
Solución explicada paso por paso
¿Cómo debo resolver este problema?
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- Integrar usando identidades trigonométricas
- Integrar usando integrales básicas
- Producto de Binomios con Término Común
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Reescribir $\sec\left(x\right)^3$ como el producto de dos secantes
Podemos resolver la integral $\int\sec\left(x\right)^2\sec\left(x\right)dx$ aplicando el método de integración por partes para calcular la integral del producto de dos funciones, mediante la siguiente fórmula
Aplicando la derivada de la función secante: $\frac{d}{dx}\left(\sec(x)\right)=\sec(x)\cdot\tan(x)\cdot D_x(x)$
Utilizando la regla de diferenciación de potencias, la derivada de la función lineal es igual a $1$
Primero, identificamos $u$ y calculamos su derivada, $du$
Luego, identificamos $dv$ y calculamos $v$
Calcular la integral para hallar $v$
La integral de $\sec(x)^2$ es $\tan(x)$
Al multiplicar dos potencias de igual base ($\tan\left(x\right)$), se pueden sumar los exponentes
Con los valores obtenidos, sustituimos $u$, $du$ y $v$ en la fórmula general
Aplicando la identidad trigonométrica: $\tan\left(\theta \right)^2 = \sec\left(\theta \right)^2-1$
Podemos identificar que la integral es de la forma $\int\tan^m(x)\sec^n(x)dx$. Si la potencia $n$ es impar y $m$ es par, entonces debemos expresar todas las funciones en términos de secantes, expandir e integrar por separado
Multiplicar el término $\sec\left(x\right)$ por cada término del polinomio $\left(\sec\left(x\right)^2-1\right)$
Al multiplicar potencias de igual base se suman los exponentes: $\sec\left(x\right)^2\sec\left(x\right)$
Multiplicar el término $\sec\left(x\right)$ por cada término del polinomio $\left(\sec\left(x\right)^2-1\right)$
Expandir la integral $\int\left(\sec\left(x\right)^{3}-\sec\left(x\right)\right)dx$ en $2$ integrales usando la regla de la integral de una suma de funciones, para luego resolver cada integral por separado
Cualquier expresión algebraica multiplicada por uno es igual a esa misma expresión
Simplificamos la expresión
La integral de la secante está dada por la fórmula, $\displaystyle\int\sec(x)dx=\ln\left|\sec(x)+\tan(x)\right|$
La integral $\int\sec\left(x\right)dx$ da como resultado: $\ln\left(\sec\left(x\right)+\tan\left(x\right)\right)$
Cuando al integrar por partes nos vuelve a aparecer la integral que estamos calculando (se formó un ciclo), ésta se resuelve como una ecuación. Entonces lo que hacemos es pasar la integral repetida al lado izquierdo de la ecuación, con signo contrario
Pasar la integral cíclica al lado izquierdo de la ecuación
Sumando las integrales
Movemos la parte constante $2$ dividiendo al otro miembro de la ecuación
La integral nos da como resultado
Después de juntar los resultados de todas las integrales individuales, obtenemos
Como la integral que estamos resolviendo es una integral indefinida, al terminar de integrar debemos añadir la constante de integración $C$
Multiplicar el término $\frac{1}{2}$ por cada término del polinomio $\left(\tan\left(x\right)\sec\left(x\right)+\ln\left(\sec\left(x\right)+\tan\left(x\right)\right)\right)$
Expandir y simplificar
