Podemos expandir la expresión dentro de la integral $\left(x^2+1\right)^5$ usando el binomio de Newton, el cual es una fórmula que nos permite obtener la forma expandida de un binomio elevado a un número entero $n$. La fórmula tal cual es: $\displaystyle(a\pm b)^n=\sum_{k=0}^{n}\left(\begin{matrix}n\\k\end{matrix}\right)a^{n-k}b^k=\left(\begin{matrix}n\\0\end{matrix}\right)a^n\pm\left(\begin{matrix}n\\1\end{matrix}\right)a^{n-1}b+\left(\begin{matrix}n\\2\end{matrix}\right)a^{n-2}b^2\pm\dots\pm\left(\begin{matrix}n\\n\end{matrix}\right)b^n$. El número de términos que resultan de la expansión es siempre igual a $n+1$. Los coeficientes $\left(\begin{matrix}n\\k\end{matrix}\right)$ son números combinatorios los cuales corresponden a la fila enésima del triángulo de Tartaglia (o triángulo de Pascal). En la fórmula, podemos observar que el exponente de $a$ va disminuyendo, de $n$ a $0$, mientras que el exponente de $b$ va aumentando, de $0$ a $n$. Si uno de los términos del binomio es negativo, se alternan los signos positivos y negativos.

Expandir la integral $\int\left(x^{10}+5x^{8}+10x^{6}+10x^{4}+5x^2+1\right)dx$ en $6$ integrales usando la regla de la integral de una suma de funciones, para luego resolver cada integral por separado

Después de juntar los resultados de todas las integrales individuales, obtenemos

Como la integral que estamos resolviendo es una integral indefinida, al terminar de integrar debemos añadir la constante de integración $C$