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Calcular la integral $\int\left(3x^2+1\right)^6dx$

Solución Paso a paso

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Respuesta final al problema

$\frac{729}{13}x^{13}+\frac{1458}{11}x^{11}+135x^{9}+\frac{540}{7}x^{7}+27x^{5}+6x^{3}+x+C_0$
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Podemos expandir la expresión dentro de la integral $\left(3x^2+1\right)^6$ usando el binomio de Newton, el cual es una fórmula que nos permite obtener la forma expandida de un binomio elevado a un número entero $n$. La fórmula tal cual es: $\displaystyle(a\pm b)^n=\sum_{k=0}^{n}\left(\begin{matrix}n\\k\end{matrix}\right)a^{n-k}b^k=\left(\begin{matrix}n\\0\end{matrix}\right)a^n\pm\left(\begin{matrix}n\\1\end{matrix}\right)a^{n-1}b+\left(\begin{matrix}n\\2\end{matrix}\right)a^{n-2}b^2\pm\dots\pm\left(\begin{matrix}n\\n\end{matrix}\right)b^n$. El número de términos que resultan de la expansión es siempre igual a $n+1$. Los coeficientes $\left(\begin{matrix}n\\k\end{matrix}\right)$ son números combinatorios los cuales corresponden a la fila enésima del triángulo de Tartaglia (o triángulo de Pascal). En la fórmula, podemos observar que el exponente de $a$ va disminuyendo, de $n$ a $0$, mientras que el exponente de $b$ va aumentando, de $0$ a $n$. Si uno de los términos del binomio es negativo, se alternan los signos positivos y negativos.

$\int\left(729x^{12}+1458x^{10}+1215x^{8}+540x^{6}+135x^{4}+18x^2+1\right)dx$

Aprende en línea a resolver problemas de cálculo integral paso a paso.

$\int\left(729x^{12}+1458x^{10}+1215x^{8}+540x^{6}+135x^{4}+18x^2+1\right)dx$

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Aprende en línea a resolver problemas de cálculo integral paso a paso. Calcular la integral int((3x^2+1)^6)dx. Podemos expandir la expresión dentro de la integral \left(3x^2+1\right)^6 usando el binomio de Newton, el cual es una fórmula que nos permite obtener la forma expandida de un binomio elevado a un número entero n. La fórmula tal cual es: \displaystyle(a\pm b)^n=\sum_{k=0}^{n}\left(\begin{matrix}n\\k\end{matrix}\right)a^{n-k}b^k=\left(\begin{matrix}n\\0\end{matrix}\right)a^n\pm\left(\begin{matrix}n\\1\end{matrix}\right)a^{n-1}b+\left(\begin{matrix}n\\2\end{matrix}\right)a^{n-2}b^2\pm\dots\pm\left(\begin{matrix}n\\n\end{matrix}\right)b^n. El número de términos que resultan de la expansión es siempre igual a n+1. Los coeficientes \left(\begin{matrix}n\\k\end{matrix}\right) son números combinatorios los cuales corresponden a la fila enésima del triángulo de Tartaglia (o triángulo de Pascal). En la fórmula, podemos observar que el exponente de a va disminuyendo, de n a 0, mientras que el exponente de b va aumentando, de 0 a n. Si uno de los términos del binomio es negativo, se alternan los signos positivos y negativos.. Expandir la integral \int\left(729x^{12}+1458x^{10}+1215x^{8}+540x^{6}+135x^{4}+18x^2+1\right)dx en 7 integrales usando la regla de la integral de una suma de funciones, para luego resolver cada integral por separado. La integral \int729x^{12}dx da como resultado: \frac{729}{13}x^{13}. La integral \int1458x^{10}dx da como resultado: \frac{1458}{11}x^{11}.

Respuesta final al problema

$\frac{729}{13}x^{13}+\frac{1458}{11}x^{11}+135x^{9}+\frac{540}{7}x^{7}+27x^{5}+6x^{3}+x+C_0$

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Resolver un ejercicio matemático utilizando diferentes métodos es importante porque mejora la comprensión, fomenta el pensamiento crítico, permite múltiples soluciones y desarrolla distintas estrategias de resolución de problemas. Leer más

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Gráfico de: $\frac{729}{13}x^{13}+\frac{1458}{11}x^{11}+135x^{9}+\frac{540}{7}x^{7}+27x^{5}+6x^{3}+x+C_0$

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Tema Principal: Cálculo Integral

La integración es un concepto fundamental del cálculo y del análisis matemático. Básicamente, una integral es una generalización de la suma de infinitos sumandos, infinitamente pequeños.

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