Podemos resolver la integral $\int\left(x-7\right)^{11}\left(x+3\right)dx$ aplicando el método de integración por sustitución o cambio de variable. Primero, debemos identificar una sección dentro de la integral con una nueva variable (llamémosla $u$), que al ser sustituida, haga la expresión dentro de la integral más sencilla. Podemos ver que $x-7$ es un buen candidato para ser sustituido. A continuación, definamos la variable $u$ y asignémosle el candidato
Ahora, para poder reescribir $dx$ en términos de $du$, necesitamos encontrar la derivada de $u$. Por lo tanto, necesitamos calcular $du$, podemos hacerlo derivando la ecuación del paso anterior
Reescribir $x$ en términos de $u$
Sustituimos $u$, $dx$ y $x$ en la integral y luego simplificamos
Reescribir el integrando $u^{11}\left(u+10\right)$ en forma expandida
Expandir la integral $\int\left(u^{12}+10u^{11}\right)du$ en $2$ integrales usando la regla de la integral de una suma de funciones, para luego resolver cada integral por separado
La integral $\int u^{12}du$ da como resultado: $\frac{\left(x-7\right)^{13}}{13}$
La integral $\int10u^{11}du$ da como resultado: $\frac{5}{6}\left(x-7\right)^{12}$
Después de juntar los resultados de todas las integrales individuales, obtenemos
Como la integral que estamos resolviendo es una integral indefinida, al terminar de integrar debemos añadir la constante de integración $C$
¿Cómo debo resolver este problema?
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