Ejercicio$\int\left(\frac{1}{x^5\sqrt{9x^2-1}}\right)dx$
Solución explicada paso por paso
1
Primero, factorizamos los términos dentro del radical por $9$ para reescribir los términos de una manera más cómoda
$\int\frac{1}{x^5\sqrt{9\left(x^2-\frac{1}{9}\right)}}dx$
2
Sacando la constante del radical
$\int\frac{1}{3x^5\sqrt{x^2-\frac{1}{9}}}dx$
3
Podemos resolver la integral $\int\frac{1}{3x^5\sqrt{x^2-\frac{1}{9}}}dx$ mediante el método de integración por sustitución trigonométrica. Tomamos el cambio de variable
$x=\frac{1}{3}\sec\left(\theta \right)$
Pasos intermedios
4
Ahora, para poder reescribir $d\theta$ en términos de $dx$, necesitamos encontrar la derivada de $x$. Por lo tanto, necesitamos calcular $dx$, podemos hacerlo derivando la ecuación del paso anterior
$dx=\frac{1}{3}\sec\left(\theta \right)\tan\left(\theta \right)d\theta$
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Pasos intermedios
5
Sustituyendo en la integral original, obtenemos
$\int\frac{1}{3}\frac{1}{\frac{1}{81}\sec\left(\theta \right)^5\sqrt{\frac{1}{9}\sec\left(\theta \right)^2-\frac{1}{9}}}\sec\left(\theta \right)\tan\left(\theta \right)d\theta$
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Pasos intermedios
$\int\frac{27\tan\left(\theta \right)}{\sec\left(\theta \right)^{4}\sqrt{\frac{1}{9}\sec\left(\theta \right)^2-\frac{1}{9}}}d\theta$
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7
Sacar la parte constante ($27$) de la integral
$27\int\frac{\tan\left(\theta \right)}{\sec\left(\theta \right)^{4}\sqrt{\frac{1}{9}\sec\left(\theta \right)^2-\frac{1}{9}}}d\theta$
Pasos intermedios
8
Reescribir la expresión trigonométrica $\frac{\tan\left(\theta \right)}{\sec\left(\theta \right)^{4}\sqrt{\frac{1}{9}\sec\left(\theta \right)^2-\frac{1}{9}}}$ dentro de la integral
$27\int\frac{3\tan\left(\theta \right)\cos\left(\theta \right)^{5}}{\sin\left(\theta \right)}d\theta$
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Pasos intermedios
9
Simplificamos la expresión
$81\int\cos\left(\theta \right)^{4}d\theta$
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10
Aplicamos la regla: $\int\cos\left(\theta \right)^ndx$$=\frac{\cos\left(\theta \right)^{\left(n-1\right)}\sin\left(\theta \right)}{n}+\frac{n-1}{n}\int\cos\left(\theta \right)^{\left(n-2\right)}dx$, donde $x=\theta $ y $n=4$
$81\left(\frac{\cos\left(\theta \right)^{3}\sin\left(\theta \right)}{4}+\frac{3}{4}\int\cos\left(\theta \right)^{2}d\theta\right)$
11
Resolver el producto $81\left(\frac{\cos\left(\theta \right)^{3}\sin\left(\theta \right)}{4}+\frac{3}{4}\int\cos\left(\theta \right)^{2}d\theta\right)$
$\frac{81\cos\left(\theta \right)^{3}\sin\left(\theta \right)}{4}+\frac{243}{4}\int\cos\left(\theta \right)^{2}d\theta$
Pasos intermedios
12
Expresar la variable $\theta$ términos de la variable original $x$
$\frac{\frac{3\sqrt{x^2-\frac{1}{9}}}{x^{3}x}}{4}+\frac{243}{4}\int\cos\left(\theta \right)^{2}d\theta$
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Pasos intermedios
13
Simplificamos la expresión
$\frac{3\sqrt{x^2-\frac{1}{9}}}{4x^{4}}+\frac{243}{4}\int\cos\left(\theta \right)^{2}d\theta$
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Pasos intermedios
14
La integral $\frac{243}{4}\int\cos\left(\theta \right)^{2}d\theta$ da como resultado: $\frac{243}{4}\left(\frac{1}{2}\mathrm{arcsec}\left(3x\right)+\frac{\frac{1}{3}\sqrt{x^2-\frac{1}{9}}}{2x^2}\right)$
$\frac{243}{4}\left(\frac{1}{2}\mathrm{arcsec}\left(3x\right)+\frac{\frac{1}{3}\sqrt{x^2-\frac{1}{9}}}{2x^2}\right)$
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15
Después de juntar los resultados de todas las integrales individuales, obtenemos
$\frac{3\sqrt{x^2-\frac{1}{9}}}{4x^{4}}+\frac{243}{4}\left(\frac{1}{2}\mathrm{arcsec}\left(3x\right)+\frac{\frac{1}{3}\sqrt{x^2-\frac{1}{9}}}{2x^2}\right)$
16
Como la integral que estamos resolviendo es una integral indefinida, al terminar de integrar debemos añadir la constante de integración $C$
$\frac{3\sqrt{x^2-\frac{1}{9}}}{4x^{4}}+\frac{243}{4}\left(\frac{1}{2}\mathrm{arcsec}\left(3x\right)+\frac{\frac{1}{3}\sqrt{x^2-\frac{1}{9}}}{2x^2}\right)+C_0$
Pasos intermedios
17
Expandir y simplificar
$\frac{3\sqrt{x^2-\frac{1}{9}}}{4x^{4}}+\frac{243}{8}\mathrm{arcsec}\left(3x\right)+\frac{81\sqrt{x^2-\frac{1}{9}}}{8x^2}+C_0$
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Respuesta final al problema $\frac{3\sqrt{x^2-\frac{1}{9}}}{4x^{4}}+\frac{243}{8}\mathrm{arcsec}\left(3x\right)+\frac{81\sqrt{x^2-\frac{1}{9}}}{8x^2}+C_0$