Solución Paso a paso

Calcular la integral $\int\frac{x}{x^2-1}dx$

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.
(◻)
+
-
×
◻/◻
/
÷
2

e
π
ln
log
log
lim
d/dx
Dx
|◻|
=
>
<
>=
<=
sin
cos
tan
cot
sec
csc

asin
acos
atan
acot
asec
acsc

sinh
cosh
tanh
coth
sech
csch

asinh
acosh
atanh
acoth
asech
acsch

Respuesta Final

$\frac{1}{2}\ln\left|x+1\right|+\frac{1}{2}\ln\left|x-1\right|+C_0$

Solución explicada paso por paso

Problema a resolver:

$\int\frac{x}{x^2-1}dx$

Método de resolución

Factorizar la diferencia de cuadrados $x^2-1$ como el producto de dos binomios conjugados

$\frac{x}{\left(x+1\right)\left(x-1\right)}$
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Reescribir la expresión dentro de la integral en forma factorizada

$\int\frac{x}{\left(x+1\right)\left(x-1\right)}dx$
2

Utilizar el método de descomposición en fracciones parciales para descomponer la fracción $\frac{x}{\left(x+1\right)\left(x-1\right)}$ en $2$ fracciones más simples

$\frac{x}{\left(x+1\right)\left(x-1\right)}=\frac{A}{x+1}+\frac{B}{x-1}$
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Necesitamos encontrar los valores de los coeficientes $A, B$ para que se cumpla la igualdad. El primer paso es deshacernos del denominador multiplicando ambos lados de la ecuación del paso anterior por $\left(x+1\right)\left(x-1\right)$

$x=\left(x+1\right)\left(x-1\right)\left(\frac{A}{x+1}+\frac{B}{x-1}\right)$
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Multiplicando polinomios

$x=\frac{A\left(x+1\right)\left(x-1\right)}{x+1}+\frac{B\left(x+1\right)\left(x-1\right)}{x-1}$
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Simplificando

$x=A\left(x-1\right)+B\left(x+1\right)$
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Expandir el polinomio

$x=Ax-A+Bx+B$
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Asignando valores a $x$ obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones

$\begin{matrix}-1=-2A&\:\:\:\:\:\:\:(x=-1) \\ 1=2B&\:\:\:\:\:\:\:(x=1)\end{matrix}$
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Procedemos a resolver el sistema de ecuaciones lineales

$\begin{matrix} -2A & + & 0B & =-1 \\ 0A & + & 2B & =1\end{matrix}$
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Reescribimos los coeficientes en forma de matriz

$\left(\begin{matrix}-2 & 0 & -1 \\ 0 & 2 & 1\end{matrix}\right)$
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Reducimos la matriz original a una matriz identidad utilizando el método de eliminación de Gauss-Jordan

$\left(\begin{matrix}1 & 0 & \frac{1}{2} \\ 0 & 1 & \frac{1}{2}\end{matrix}\right)$
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La integral de $\frac{x}{\left(x+1\right)\left(x-1\right)}$ en forma descompuesta equivale a

$\int\left(\frac{\frac{1}{2}}{x+1}+\frac{\frac{1}{2}}{x-1}\right)dx$
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Expandir la integral $\int\left(\frac{\frac{1}{2}}{x+1}+\frac{\frac{1}{2}}{x-1}\right)dx$

$\int\frac{\frac{1}{2}}{x+1}dx+\int\frac{\frac{1}{2}}{x-1}dx$

La integral de una constante por una función es igual a la constante multiplicada por la integral de la función

$\frac{1}{2}\int\frac{1}{1+x}dx$

Aplicamos la regla: $\int\frac{n}{x+b}dx$$=n\ln\left|x+b\right|$, donde $b=1$ y $n=1$

$\frac{1}{2}\ln\left|x+1\right|$
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La integral $\int\frac{\frac{1}{2}}{x+1}dx$ da como resultado: $\frac{1}{2}\ln\left|x+1\right|$

$\frac{1}{2}\ln\left|x+1\right|$

La integral de una constante por una función es igual a la constante multiplicada por la integral de la función

$\frac{1}{2}\int\frac{1}{-1+x}dx$

Aplicamos la regla: $\int\frac{n}{x+b}dx$$=n\ln\left|x+b\right|$, donde $b=-1$ y $n=1$

$\frac{1}{2}\ln\left|x-1\right|$
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La integral $\int\frac{\frac{1}{2}}{x-1}dx$ da como resultado: $\frac{1}{2}\ln\left|x-1\right|$

$\frac{1}{2}\ln\left|x-1\right|$
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Después de juntar los resultados de todas las integrales individuales, obtenemos

$\frac{1}{2}\ln\left|x+1\right|+\frac{1}{2}\ln\left|x-1\right|$
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Como la integral que estamos resolviendo es una integral indefinida, al terminar de integrar debemos añadir la constante de integración $C$

$\frac{1}{2}\ln\left|x+1\right|+\frac{1}{2}\ln\left|x-1\right|+C_0$

Respuesta Final

$\frac{1}{2}\ln\left|x+1\right|+\frac{1}{2}\ln\left|x-1\right|+C_0$