Podemos resolver la integral $\int\frac{\sec\left(\frac{1}{x^7}\right)^2}{x^8}dx$ aplicando el método de integración por sustitución o cambio de variable. Primero, debemos identificar una sección dentro de la integral con una nueva variable (llamémosla $u$), que al ser sustituida, haga la expresión dentro de la integral más sencilla. Podemos ver que $\frac{1}{x^7}$ es un buen candidato para ser sustituido. A continuación, definamos la variable $u$ y asignémosle el candidato
Ahora, para poder reescribir $dx$ en términos de $du$, necesitamos encontrar la derivada de $u$. Por lo tanto, necesitamos calcular $du$, podemos hacerlo derivando la ecuación del paso anterior
Despejando $dx$ de la ecuación anterior
Sustituimos $u$ y $dx$ en la integral y luego simplificamos
Sacar el término constante $\frac{1}{-7}$ de la integral
La integral de $\sec(x)^2$ es $\tan(x)$
Reemplazar $u$ por el valor que le fue asignado en la sustitución en un principio: $\frac{1}{x^7}$
Como la integral que estamos resolviendo es una integral indefinida, al terminar de integrar debemos añadir la constante de integración $C$
¿Cómo debo resolver este problema?
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