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Ejercicio

∫14sec(x)−1dx\int\frac{1}{4sec\left(x\right)-1}dx

Solución explicada paso por paso

1

Podemos resolver la integral ∫14sec⁡(x)−1dx\int\frac{1}{4\sec\left(x\right)-1}dx aplicando el método de sustitución de Weierstrass (también conocido como sustitución universal ó sustitución de tangente del ángulo medio) el cual convierte una integral de funciones trigonométricas en una función racional de tt usando la sustitución

t=tan⁡(x2)t=\tan\left(\frac{x}{2}\right)
2

Por lo tanto

sin⁡x=2t1+t2, cos⁡x=1−t21+t2, y  dx=21+t2dt\sin x=\frac{2t}{1+t^{2}},\:\cos x=\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}},\:\mathrm{y}\:\:dx=\frac{2}{1+t^{2}}dt
3

Sustituyendo en la integral original, obtenemos

∫14(1+t21−t2)−121+t2dt\int\frac{1}{4\left(\frac{1+t^{2}}{1-t^{2}}\right)-1}\frac{2}{1+t^{2}}dt
4

Simplificando

∫2(1−t2)(4(1+t2)−(1−t2))(1+t2)dt\int\frac{2\left(1-t^{2}\right)}{\left(4\left(1+t^{2}\right)-\left(1-t^{2}\right)\right)\left(1+t^{2}\right)}dt
5

Sacar la constante 22 del argumento de la integral

2∫1−t2(4(1+t2)−(1−t2))(1+t2)dt2\int\frac{1-t^{2}}{\left(4\left(1+t^{2}\right)-\left(1-t^{2}\right)\right)\left(1+t^{2}\right)}dt
6

Resolver el producto 4(1+t2)4\left(1+t^{2}\right)

2∫1−t2(4+4t2−(1−t2))(1+t2)dt2\int\frac{1-t^{2}}{\left(4+4t^{2}-\left(1-t^{2}\right)\right)\left(1+t^{2}\right)}dt
7

Resolver el producto −(1−t2)-\left(1-t^{2}\right)

2∫1−t2(4+4t2−1+t2)(1+t2)dt2\int\frac{1-t^{2}}{\left(4+4t^{2}-1+t^{2}\right)\left(1+t^{2}\right)}dt
8

Simplificamos la expresión

2∫1−t2(3+5t2)(1+t2)dt2\int\frac{1-t^{2}}{\left(3+5t^{2}\right)\left(1+t^{2}\right)}dt
9

Utilizar el método de descomposición en fracciones parciales para descomponer la fracción 1−t2(3+5t2)(1+t2)\frac{1-t^{2}}{\left(3+5t^{2}\right)\left(1+t^{2}\right)} en 22 fracciones más simples

43+5t2+−11+t2\frac{4}{3+5t^{2}}+\frac{-1}{1+t^{2}}
10

Expandir la integral ∫(43+5t2+−11+t2)dt\int\left(\frac{4}{3+5t^{2}}+\frac{-1}{1+t^{2}}\right)dt en 22 integrales usando la regla de la integral de una suma de funciones, para luego resolver cada integral por separado

2∫43+5t2dt+2∫−11+t2dt2\int\frac{4}{3+5t^{2}}dt+2\int\frac{-1}{1+t^{2}}dt
11

La integral 2∫43+5t2dt2\int\frac{4}{3+5t^{2}}dt da como resultado: 835arctan⁡(53t)3\frac{8\sqrt{\frac{3}{5}}\arctan\left(\sqrt{\frac{5}{3}}t\right)}{3}

835arctan⁡(53t)3\frac{8\sqrt{\frac{3}{5}}\arctan\left(\sqrt{\frac{5}{3}}t\right)}{3}
12

La integral 2∫−11+t2dt2\int\frac{-1}{1+t^{2}}dt da como resultado: −2arctan⁡(t)-2\arctan\left(t\right)

−2arctan⁡(t)-2\arctan\left(t\right)
13

Después de juntar los resultados de todas las integrales individuales, obtenemos

835arctan⁡(53t)3−2arctan⁡(t)\frac{8\sqrt{\frac{3}{5}}\arctan\left(\sqrt{\frac{5}{3}}t\right)}{3}-2\arctan\left(t\right)
14

Reemplazar tt por el valor que le fue asignado en la sustitución en un principio: tan⁡(x2)\tan\left(\frac{x}{2}\right)

835arctan⁡(53tan⁡(x2))3−2arctan⁡(tan⁡(x2))\frac{8\sqrt{\frac{3}{5}}\arctan\left(\sqrt{\frac{5}{3}}\tan\left(\frac{x}{2}\right)\right)}{3}-2\arctan\left(\tan\left(\frac{x}{2}\right)\right)
15

Simplificamos la expresión

835arctan⁡(53tan⁡(x2))3−x\frac{8\sqrt{\frac{3}{5}}\arctan\left(\sqrt{\frac{5}{3}}\tan\left(\frac{x}{2}\right)\right)}{3}-x
16

Como la integral que estamos resolviendo es una integral indefinida, al terminar de integrar debemos añadir la constante de integración CC

835arctan⁡(53tan⁡(x2))3−x+C0\frac{8\sqrt{\frac{3}{5}}\arctan\left(\sqrt{\frac{5}{3}}\tan\left(\frac{x}{2}\right)\right)}{3}-x+C_0

Respuesta final al problema

835arctan⁡(53tan⁡(x2))3−x+C0\frac{8\sqrt{\frac{3}{5}}\arctan\left(\sqrt{\frac{5}{3}}\tan\left(\frac{x}{2}\right)\right)}{3}-x+C_0

¿Cómo debo resolver este problema?

  • Elige una opción
  • Integrar por fracciones parciales
  • Integrar por cambio de variable
  • Integrar por partes
  • Integrar por método tabular
  • Integrar por sustitución trigonométrica
  • Integración por Sustitución de Weierstrass
  • Integrar usando identidades trigonométricas
  • Integrar usando integrales básicas
  • Producto de Binomios con Término Común
  • Cargar más...
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∫◻
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>=
<=
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cot
sec
csc

asin
acos
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acot
asec
acsc

sinh
cosh
tanh
coth
sech
csch

asinh
acosh
atanh
acoth
asech
acsch

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