Ejercicio$\int\frac{1}{\left(sinx+cosx\right)^3}dx$
Solución explicada paso por paso
Pasos intermedios
1
Simplificar $\frac{1}{\left(\sin\left(x\right)+\cos\left(x\right)\right)^3}$ en $\frac{\csc\left(x+45\right)^3}{\sqrt{\left(2\right)^{3}}}$ aplicando identidades trigonométricas
$\int\frac{\csc\left(x+45\right)^3}{\sqrt{\left(2\right)^{3}}}dx$
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2
Sacar el término constante $\frac{1}{\sqrt{\left(2\right)^{3}}}$ de la integral
$\frac{1}{\sqrt{\left(2\right)^{3}}}\int\csc\left(x+45\right)^3dx$
3
Podemos resolver la integral $\int\csc\left(x+45\right)^3dx$ aplicando el método de integración por sustitución o cambio de variable. Primero, debemos identificar una sección dentro de la integral con una nueva variable (llamémosla $u$), que al ser sustituida, haga la expresión dentro de la integral más sencilla. Podemos ver que $x+45$ es un buen candidato para ser sustituido. A continuación, definamos la variable $u$ y asignémosle el candidato
$u=x+45$
Pasos intermedios
4
Ahora, para poder reescribir $dx$ en términos de $du$, necesitamos encontrar la derivada de $u$. Por lo tanto, necesitamos calcular $du$, podemos hacerlo derivando la ecuación del paso anterior
$du=dx$
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5
Sustituimos $u$ y $dx$ en la integral y luego simplificamos
$\frac{1}{\sqrt{\left(2\right)^{3}}}\int\csc\left(u\right)^3du$
6
Reescribir la función trigonométrica $\csc\left(u\right)^3$ como el producto de dos potencias
$\frac{1}{\sqrt{\left(2\right)^{3}}}\int\csc\left(u\right)^2\csc\left(u\right)du$
7
Podemos resolver la integral $\int\csc\left(u\right)^2\csc\left(u\right)du$ aplicando el método de integración por partes para calcular la integral del producto de dos funciones, mediante la siguiente fórmula
$\displaystyle\int u\cdot dv=u\cdot v-\int v \cdot du$
Pasos intermedios
8
Primero, identificamos $u$ y calculamos su derivada, $du$
$\begin{matrix}\displaystyle{u=\csc\left(u\right)}\\ \displaystyle{du=-\csc\left(u\right)\cot\left(u\right)du}\end{matrix}$
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9
Luego, identificamos $dv$ y calculamos $v$
$\begin{matrix}\displaystyle{dv=\csc\left(u\right)^2du}\\ \displaystyle{\int dv=\int \csc\left(u\right)^2du}\end{matrix}$
10
Calcular la integral para hallar $v$
$v=\int\csc\left(u\right)^2du$
11
La integral de $\csc(x)^2$ es $-\cot(x)$
$-\cot\left(u\right)$
Pasos intermedios
12
Con los valores obtenidos, sustituimos $u$, $du$ y $v$ en la fórmula general
$\frac{1}{\sqrt{\left(2\right)^{3}}}\left(-\cot\left(u\right)\csc\left(u\right)-\int\csc\left(u\right)\cot\left(u\right)^2du\right)$
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Pasos intermedios
13
Multiplicar el término $\frac{1}{\sqrt{\left(2\right)^{3}}}$ por cada término del polinomio $\left(-\cot\left(u\right)\csc\left(u\right)-\int\csc\left(u\right)\cot\left(u\right)^2du\right)$
$\frac{-1}{\sqrt{\left(2\right)^{3}}}\cot\left(u\right)\csc\left(u\right)+\frac{-1}{\sqrt{\left(2\right)^{3}}}\int\csc\left(u\right)\cot\left(u\right)^2du$
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14
Aplicando la identidad trigonométrica: $\cot\left(\theta \right)^2 = \csc\left(\theta \right)^2-1$
$\frac{-1}{\sqrt{\left(2\right)^{3}}}\cot\left(u\right)\csc\left(u\right)+\frac{-1}{\sqrt{\left(2\right)^{3}}}\int\csc\left(u\right)\cot\left(u\right)^2du$
15
Aplicando la identidad trigonométrica: $\cot\left(\theta \right)^2 = \csc\left(\theta \right)^2-1$
$\frac{-1}{\sqrt{\left(2\right)^{3}}}\cot\left(u\right)\csc\left(u\right)+\frac{-1}{\sqrt{\left(2\right)^{3}}}\int\csc\left(u\right)\left(\csc\left(u\right)^2-1\right)du$
16
Multiplicando polinomios $\csc\left(u\right)$ y $\csc\left(u\right)^2-1$
$\frac{-1}{\sqrt{\left(2\right)^{3}}}\cot\left(u\right)\csc\left(u\right)+\frac{-1}{\sqrt{\left(2\right)^{3}}}\int\left(\csc\left(u\right)\csc\left(u\right)^2-\csc\left(u\right)\right)du$
Pasos intermedios
17
Simplificamos la expresión
$\frac{-1}{\sqrt{\left(2\right)^{3}}}\cot\left(u\right)\csc\left(u\right)+\frac{-1}{\sqrt{\left(2\right)^{3}}}\left(\int\csc\left(u\right)^{3}du+\int-\csc\left(u\right)du\right)$
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Pasos intermedios
18
Reemplazar $u$ por el valor que le fue asignado en la sustitución en un principio: $x+45$
$\frac{-1}{\sqrt{\left(2\right)^{3}}}\cot\left(x+45\right)\csc\left(x+45\right)+\frac{-1}{\sqrt{\left(2\right)^{3}}}\left(\int\csc\left(u\right)^{3}du+\int-\csc\left(u\right)du\right)$
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19
Resolver el producto $\frac{-1}{\sqrt{\left(2\right)^{3}}}\left(\int\csc\left(u\right)^{3}du+\int-\csc\left(u\right)du\right)$
$\frac{-1}{\sqrt{\left(2\right)^{3}}}\cot\left(x+45\right)\csc\left(x+45\right)+\frac{-1}{\sqrt{\left(2\right)^{3}}}\int\csc\left(u\right)^{3}du+\frac{-1}{\sqrt{\left(2\right)^{3}}}\int-\csc\left(u\right)du$
Pasos intermedios
20
La integral $\frac{-1}{\sqrt{\left(2\right)^{3}}}\int-\csc\left(u\right)du$ da como resultado: $\frac{-1}{\sqrt{\left(2\right)^{3}}}\ln\left(\csc\left(x+45\right)+\cot\left(x+45\right)\right)$
$\frac{-1}{\sqrt{\left(2\right)^{3}}}\ln\left(\csc\left(x+45\right)+\cot\left(x+45\right)\right)$
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21
Cuando al integrar por partes nos vuelve a aparecer la integral que estamos calculando (se formó un ciclo), ésta se resuelve como una ecuación. Entonces lo que hacemos es pasar la integral repetida al lado izquierdo de la ecuación, con signo contrario
$\int\csc\left(u\right)^{3}du=\frac{-1}{\sqrt{\left(2\right)^{3}}}\cot\left(x+45\right)\csc\left(x+45\right)+\frac{-1}{\sqrt{\left(2\right)^{3}}}\int\csc\left(u\right)^{3}du+\frac{-1}{\sqrt{\left(2\right)^{3}}}\ln\left(\csc\left(x+45\right)+\cot\left(x+45\right)\right)$
22
Pasar la integral cíclica al lado izquierdo de la ecuación
$\int\csc\left(u\right)^{3}du+\frac{-1}{\sqrt{\left(2\right)^{3}}}\int\csc\left(u\right)^{3}du=\frac{-1}{\sqrt{\left(2\right)^{3}}}\cot\left(x+45\right)\csc\left(x+45\right)+\frac{-1}{\sqrt{\left(2\right)^{3}}}\ln\left|\csc\left(x+45\right)+\cot\left(x+45\right)\right|$
23
Sumando las integrales
$\left(\frac{-1}{\sqrt{\left(2\right)^{3}}}+1\right)\int\csc\left(u\right)^{3}du=\frac{-1}{\sqrt{\left(2\right)^{3}}}\cot\left(x+45\right)\csc\left(x+45\right)+\frac{-1}{\sqrt{\left(2\right)^{3}}}\ln\left|\csc\left(x+45\right)+\cot\left(x+45\right)\right|$
Pasos intermedios
$\frac{-1+\sqrt{\left(2\right)^{3}}}{\sqrt{\left(2\right)^{3}}}\int\csc\left(u\right)^{3}du=\frac{-1}{\sqrt{\left(2\right)^{3}}}\cot\left(x+45\right)\csc\left(x+45\right)+\frac{-1}{\sqrt{\left(2\right)^{3}}}\ln\left|\csc\left(x+45\right)+\cot\left(x+45\right)\right|$
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25
Movemos la parte constante $\frac{-1+\sqrt{\left(2\right)^{3}}}{\sqrt{\left(2\right)^{3}}}$ dividiendo al otro miembro de la ecuación
$\int\csc\left(u\right)^{3}du=\frac{\sqrt{\left(2\right)^{3}}}{-1+\sqrt{\left(2\right)^{3}}}\left(\frac{-1}{\sqrt{\left(2\right)^{3}}}\cot\left(x+45\right)\csc\left(x+45\right)+\frac{-1}{\sqrt{\left(2\right)^{3}}}\ln\left|\csc\left(x+45\right)+\cot\left(x+45\right)\right|\right)$
26
La integral nos da como resultado
$\frac{\sqrt{\left(2\right)^{3}}}{-1+\sqrt{\left(2\right)^{3}}}\left(\frac{-1}{\sqrt{\left(2\right)^{3}}}\cot\left(x+45\right)\csc\left(x+45\right)+\frac{-1}{\sqrt{\left(2\right)^{3}}}\ln\left|\csc\left(x+45\right)+\cot\left(x+45\right)\right|\right)$
27
Después de juntar los resultados de todas las integrales individuales, obtenemos
$\frac{\sqrt{\left(2\right)^{3}}}{-1+\sqrt{\left(2\right)^{3}}}\left(\frac{-1}{\sqrt{\left(2\right)^{3}}}\cot\left(x+45\right)\csc\left(x+45\right)+\frac{-1}{\sqrt{\left(2\right)^{3}}}\ln\left|\csc\left(x+45\right)+\cot\left(x+45\right)\right|\right)$
28
Como la integral que estamos resolviendo es una integral indefinida, al terminar de integrar debemos añadir la constante de integración $C$
$\frac{\sqrt{\left(2\right)^{3}}}{-1+\sqrt{\left(2\right)^{3}}}\left(\frac{-1}{\sqrt{\left(2\right)^{3}}}\cot\left(x+45\right)\csc\left(x+45\right)+\frac{-1}{\sqrt{\left(2\right)^{3}}}\ln\left|\csc\left(x+45\right)+\cot\left(x+45\right)\right|\right)+C_0$
Pasos intermedios
29
Expandir y simplificar
$\frac{-1}{-1+\sqrt{\left(2\right)^{3}}}\cot\left(x+45\right)\csc\left(x+45\right)+\frac{-1}{-1+\sqrt{\left(2\right)^{3}}}\ln\left|\csc\left(x+45\right)+\cot\left(x+45\right)\right|+C_0$
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Respuesta final al problema $\frac{-1}{-1+\sqrt{\left(2\right)^{3}}}\cot\left(x+45\right)\csc\left(x+45\right)+\frac{-1}{-1+\sqrt{\left(2\right)^{3}}}\ln\left|\csc\left(x+45\right)+\cot\left(x+45\right)\right|+C_0$
