Podemos resolver la integral $\int\mathrm{coth}\left(3x\right)dx$ aplicando el método de integración por sustitución o cambio de variable. Primero, debemos identificar una sección dentro de la integral con una nueva variable (llamémosla $u$), que al ser sustituida, haga la expresión dentro de la integral más sencilla. Podemos ver que $3x$ es un buen candidato para ser sustituido. A continuación, definamos la variable $u$ y asignémosle el candidato
Ahora, para poder reescribir $dx$ en términos de $du$, necesitamos encontrar la derivada de $u$. Por lo tanto, necesitamos calcular $du$, podemos hacerlo derivando la ecuación del paso anterior
Despejando $dx$ de la ecuación anterior
Sustituimos $u$ y $dx$ en la integral y luego simplificamos
Sacar el término constante $\frac{1}{3}$ de la integral
Podemos resolver la integral $\int\mathrm{coth}\left(u\right)du$ aplicando el método de integración por partes para calcular la integral del producto de dos funciones, mediante la siguiente fórmula
Primero, identificamos $u$ y calculamos su derivada, $du$
Luego, identificamos $dv$ y calculamos $v$
Calcular la integral para hallar $v$
La integral de una constante es igual a la constante multiplicada por la variable de integración
Con los valores obtenidos, sustituimos $u$, $du$ y $v$ en la fórmula general
Multiplicar el término $\frac{1}{3}$ por cada término del polinomio $\left(u\mathrm{coth}\left(u\right)+\int u\mathrm{csch}\left(u\right)^2du\right)$
Reemplazar $u$ por el valor que le fue asignado en la sustitución en un principio: $3x$
Multiplicar la fracción y el término en $3\cdot \frac{1}{3}x\mathrm{coth}\left(u\right)$
Reemplazar $u$ por el valor que le fue asignado en la sustitución en un principio: $3x$
La integral $\frac{1}{3}\int u\mathrm{csch}\left(u\right)^2du$ da como resultado: $-x\mathrm{coth}\left(3x\right)+\frac{1}{3}\ln\left(\mathrm{sinh}\left(3x\right)\right)$
Después de juntar los resultados de todas las integrales individuales, obtenemos
Reduciendo términos semejantes $x\mathrm{coth}\left(3x\right)$ y $-x\mathrm{coth}\left(3x\right)$
Como la integral que estamos resolviendo es una integral indefinida, al terminar de integrar debemos añadir la constante de integración $C$
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