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Resolver la ecuación diferencial $\frac{dy}{dx}+\frac{-y}{x}=\frac{x}{3y}$

Solución Paso a paso

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Solución

Respuesta final al problema

$y=\sqrt{\frac{2}{3}\ln\left(x\right)+c_0}x,\:y=-\sqrt{\frac{2}{3}\ln\left(x\right)+c_0}x$
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Solución explicada paso por paso

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Podemos reconocer que la ecuación diferencial $\frac{dy}{dx}+\frac{-y}{x}=\frac{x}{3y}$ es una ecuación diferencial de Bernoulli ya que se encuentra escrita de la forma $\frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)y^n$, donde $n$ es cualquier número real diferente de $0$ y $1$. Para resolver esta ecuación, podemos aplicar la siguiente sustitución. Definamos una nueva variable $u$ y asignémosle el siguiente valor

$u=y^{\left(1-n\right)}$
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Reemplazamos el valor de $n$, que equivale a $-1$

$u=y^{\left(1+1\right)}$
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Simplificar

$u=y^{2}$
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Despejamos la variable dependiente $y$

$y=\sqrt{u}$
5

Derivar ambos lados de la ecuación con respecto a la variable independiente $x$

$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{2}u^{-\frac{1}{2}}\frac{du}{dx}$
6

Ahora, sustituimos $\frac{dy}{dx}=\frac{1}{2}u^{-\frac{1}{2}}\frac{du}{dx}$ y $y=\sqrt{u}$ en la ecuación diferencial original

$\frac{1}{2}u^{-\frac{1}{2}}\frac{du}{dx}+\frac{-\sqrt{u}}{x}=\frac{x}{3\sqrt{u}}$
7

Simplificar

$\frac{1}{2}u^{-\frac{1}{2}}\frac{du}{dx}+\frac{-\sqrt{u}}{x}=\frac{x}{3\sqrt{u}}$
8

Necesitamos cancelar el término que esta al frente de $\frac{du}{dx}$. Podemos hacerlo multiplicando toda la ecuación diferencial por $\frac{1}{2}\sqrt{u}$

$\left(\frac{1}{2}u^{-\frac{1}{2}}\frac{du}{dx}+\frac{-\sqrt{u}}{x}=\frac{x}{3\sqrt{u}}\right)\left(\frac{1}{2}\sqrt{u}\right)$
9

Multiplicar ambos lados por $\frac{1}{2}\sqrt{u}$

$\frac{1}{2}\sqrt{u}\left(\frac{1}{2}u^{-\frac{1}{2}}\frac{du}{dx}+\frac{-\sqrt{u}}{x}\right)=\frac{x}{3\sqrt{u}}\frac{1}{2}\sqrt{u}$
10

Expandir y simplificar. Ahora, vemos que la ecuación diferencial tiene la forma de una ecuación diferencial lineal, ya que hemos removido el término $y^{-1}$ que estaba multiplicando en la ecuación original

$\frac{1}{4}\frac{du}{dx}+\frac{-u}{2x}=\frac{x}{6}$
11

Dividir todos los términos de la ecuación entre $\frac{1}{4}$

$\frac{du}{dx}+\frac{-u}{\frac{1}{2}x}=\frac{2x}{3}$
12

Podemos darnos cuenta de que la ecuación diferencial tiene la forma: $\frac{dy}{dx} + P(x)\cdot y(x) = Q(x)$, así que podemos clasificarla en una ecuación diferencial lineal de primer orden, donde $P(x)=\frac{-1}{\frac{1}{2}x}$ y $Q(x)=\frac{2x}{3}$. Para poder resolver esta ecuación diferencial, el primer paso es encontrar el factor integrante $\mu(x)$

$\displaystyle\mu\left(x\right)=e^{\int P(x)dx}$
13

Para encontrar $\mu(x)$, primero necesitamos calcular $\int P(x)dx$

$\int P(x)dx=\int\frac{-1}{\frac{1}{2}x}dx=-2\ln\left(x\right)$
14

Asi que el factor integrante $\mu(x)$ es

$\mu(x)=x^{-2}$
15

Ahora, multiplicamos todos los términos de la ecuación diferencial por el factor integrante $\mu(x)$ y verificamos si podemos simplificar

$\frac{du}{dx}x^{-2}-2ux^{-3}=\frac{2x^{-1}}{3}$
16

Podemos reconocer que el lado izquierdo de la ecuación diferencial consiste en la derivada del producto de $\mu(x)\cdot y(x)$

$\frac{d}{dx}\left(x^{-2}u\right)=\frac{2x^{-1}}{3}$
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Integrar ambos lados de la ecuación diferencial con respecto a $dx$

$\int\frac{d}{dx}\left(x^{-2}u\right)dx=\int\frac{2x^{-1}}{3}dx$
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Simplificar el lado izquierdo de la ecuación diferencial

$x^{-2}u=\int\frac{2x^{-1}}{3}dx$
19

Aplicando la propiedad de la potenciación, $\displaystyle a^{-n}=\frac{1}{a^n}$, donde $n$ es un número

$x^{-2}u=\int\frac{2}{3x^{1}}dx$
20

Cualquier expresión elevada a la potencia uno es igual a esa misma expresión

$x^{-2}u=\int\frac{2}{3x}dx$
21

Resolver la integral $\int\frac{2}{3x}dx$ y reemplazar el resultado en la ecuación diferencial

$x^{-2}u=\frac{2}{3}\ln\left|x\right|+C_0$
22

Reemplazar $u$ con el valor $y^{2}$

$x^{-2}y^{2}=\frac{2}{3}\ln\left(x\right)+C_0$
23

Aplicando la propiedad de la potenciación, $\displaystyle a^{-n}=\frac{1}{a^n}$, donde $n$ es un número

$\frac{1}{x^{2}}y^{2}=\frac{2}{3}\ln\left|x\right|+C_0$
24

Multiplicar la fracción por el término

$\frac{y^{2}}{x^{2}}=\frac{2}{3}\ln\left|x\right|+C_0$
25

Encontrar la solución explícita a la ecuación diferencial. Necesitamos despejar la variable $y$

$y=\sqrt{\frac{2}{3}\ln\left(x\right)+c_0}x,\:y=-\sqrt{\frac{2}{3}\ln\left(x\right)+c_0}x$

Respuesta final al problema

$y=\sqrt{\frac{2}{3}\ln\left(x\right)+c_0}x,\:y=-\sqrt{\frac{2}{3}\ln\left(x\right)+c_0}x$

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Gráfico de: $\frac{dy}{dx}+\frac{-y}{x}+\frac{-x}{3y}$

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