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Ejercicio

$\frac{dy}{dx}=24+18x+28y+21xy$

Solución explicada paso por paso

1

Reorganizar la ecuación diferencial

$\frac{dy}{dx}-\left(28y+18x+21xy\right)=24$
2

Simplificando

$\frac{dy}{dx}-28y-18x-21xy=24$
3

Podemos darnos cuenta de que la ecuación diferencial tiene la forma: $\frac{dy}{dx} + P(x)\cdot y(x) = Q(x)$, así que podemos clasificarla en una ecuación diferencial lineal de primer orden, donde $P(x)=-28$ y $Q(x)=24$. Para poder resolver esta ecuación diferencial, el primer paso es encontrar el factor integrante $\mu(x)$

$\displaystyle\mu\left(x\right)=e^{\int P(x)dx}$
4

Para encontrar $\mu(x)$, primero necesitamos calcular $\int P(x)dx$

$\int P(x)dx=\int-28dx=-28x$
5

Asi que el factor integrante $\mu(x)$ es

$\mu(x)=e^{-28x}$
6

Ahora, multiplicamos todos los términos de la ecuación diferencial por el factor integrante $\mu(x)$ y verificamos si podemos simplificar

$\frac{dy}{dx}e^{-28x}-28ye^{-28x}-18x-21xy=24e^{-28x}$
7

Podemos reconocer que el lado izquierdo de la ecuación diferencial consiste en la derivada del producto de $\mu(x)\cdot y(x)$

$\frac{d}{dx}\left(e^{-28x}y\right)=24e^{-28x}$
8

Integrar ambos lados de la ecuación diferencial con respecto a $dx$

$\int\frac{d}{dx}\left(e^{-28x}y\right)dx=\int24e^{-28x}dx$
9

Simplificar el lado izquierdo de la ecuación diferencial

$e^{-28x}y=\int24e^{-28x}dx$
10

Resolver la integral $\int24e^{-28x}dx$ y reemplazar el resultado en la ecuación diferencial

$e^{-28x}y=\frac{-6}{7e^{28x}}+C_0$
11

Aplicando la propiedad de la potenciación, $\displaystyle a^{-n}=\frac{1}{a^n}$, donde $n$ es un número

$\frac{1}{e^{28x}}y=\frac{-6}{7e^{28x}}+C_0$
12

Multiplicar la fracción por el término

$\frac{y}{e^{28x}}=\frac{-6}{7e^{28x}}+C_0$
13

Encontrar la solución explícita a la ecuación diferencial. Necesitamos despejar la variable $y$

$y=\left(\frac{-6}{7e^{28x}}+C_0\right)e^{28x}$

Respuesta final al problema

$y=\left(\frac{-6}{7e^{28x}}+C_0\right)e^{28x}$

¿Cómo debo resolver este problema?

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