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Ejercicio

$\frac{d}{dx}\left(x^2y=\csc\left(y\right)\right)$

Solución explicada paso por paso

1

Para calcular la derivada de la función implícita, procedemos a derivar ambos lados de la ecuación con respecto a la variable de derivación

$\frac{d}{dx}\left(x^2y\right)=\frac{d}{dx}\left(\csc\left(y\right)\right)$
2

Aplicando la derivada del producto de dos funciones: $(f\cdot g)'=f'\cdot g+f\cdot g'$, donde $f=x^2$ y $g=y$

$\frac{d}{dx}\left(x^2\right)y+x^2\frac{d}{dx}\left(y\right)=\frac{d}{dx}\left(\csc\left(y\right)\right)$
3

Utilizando la regla de diferenciación de potencias, la derivada de la función lineal es igual a $1$

$\frac{d}{dx}\left(x^2\right)y+x^2y^{\prime}=\frac{d}{dx}\left(\csc\left(y\right)\right)$
4

Utilizamos la regla de diferenciación de potencias, la cual dice que si $n$ es un número real y si $f(x) = x^n$, entonces $f'(x) = nx^{n-1}$

$2xy+x^2y^{\prime}=\frac{d}{dx}\left(\csc\left(y\right)\right)$
5

Aplicando la derivada de la función cosecante: $\frac{d}{dx}\left(\csc(x)\right)=-\csc(x)\cdot\cot(x)\cdot D_x(x)$

$2xy+x^2y^{\prime}=-\frac{d}{dx}\left(y\right)\csc\left(y\right)\cot\left(y\right)$
6

Utilizando la regla de diferenciación de potencias, la derivada de la función lineal es igual a $1$

$2xy+x^2y^{\prime}=-y^{\prime}\csc\left(y\right)\cot\left(y\right)$
7

Agrupar los términos de la ecuación moviendo los términos que contienen la variable $y^{\prime}$ al lado izquierdo, y los que no la tienen al lado derecho

$x^2y^{\prime}+y^{\prime}\csc\left(y\right)\cot\left(y\right)=-2xy$
8

Factoizar el polinomio $x^2y^{\prime}+y^{\prime}\csc\left(y\right)\cot\left(y\right)$ por su máximo común divisor (MCD): $y^{\prime}$

$y^{\prime}\left(x^2+\csc\left(y\right)\cot\left(y\right)\right)=-2xy$
9

Dividir ambos lados de la ecuación por $x^2+\csc\left(y\right)\cot\left(y\right)$

$y^{\prime}=\frac{-2xy}{x^2+\csc\left(y\right)\cot\left(y\right)}$

Respuesta final al problema

$y^{\prime}=\frac{-2xy}{x^2+\csc\left(y\right)\cot\left(y\right)}$

¿Cómo debo resolver este problema?

  • Elige una opción
  • Derivar usando la definición
  • Hallar la derivada con la regla del producto
  • Hallar la derivada con la regla del cociente
  • Hallar la derivada usando diferenciación logarítmica
  • Hallar la derivada
  • Integrar por fracciones parciales
  • Producto de Binomios con Término Común
  • Método FOIL
  • Integrar por cambio de variable
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log◻
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∫◻
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<=
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sec
csc

asin
acos
atan
acot
asec
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sinh
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tanh
coth
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atanh
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