Hallar la derivada implícita (d/dx)(x^2+xy-y^2=1)

Problema a resolver:

$\frac{d}{dx}\left(x^2+xy-y^2=1\right)$

1

Para calcular la derivada de la función implícita, procedemos a derivar ambos lados de la ecuación con respecto a la variable de derivación

$\frac{d}{dx}\left(x^2+xy-y^2\right)=\frac{d}{dx}\left(1\right)$

2

La derivada de la función constante ($1$) es igual a cero

$\frac{d}{dx}\left(x^2+xy-y^2\right)=0$

3

La derivada de la suma de dos o más funciones equivale a la suma de las derivadas de cada función por separado

$\frac{d}{dx}\left(x^2\right)+\frac{d}{dx}\left(xy\right)+\frac{d}{dx}\left(-y^2\right)=0$

4

La derivada de una función multiplicada por una constante ($-1$) es igual a la constante por la derivada de la función

$\frac{d}{dx}\left(x^2\right)+\frac{d}{dx}\left(xy\right)-\frac{d}{dx}\left(y^2\right)=0$

5

Aplicando la derivada del producto de dos funciones: $(f\cdot g)'=f'\cdot g+f\cdot g'$, donde $f=x$ y $g=y$

$\frac{d}{dx}\left(x^2\right)+y\frac{d}{dx}\left(x\right)+x\frac{d}{dx}\left(y\right)-\frac{d}{dx}\left(y^2\right)=0$

Utilizando la regla de diferenciación de potencias, la derivada de la función lineal es $1$

$\frac{d}{dx}\left(x^2\right)+1y+x\frac{d}{dx}\left(y\right)-\frac{d}{dx}\left(y^2\right)=0$

Cualquier expresión algebraica multiplicada por uno es igual a esa misma expresión

$\frac{d}{dx}\left(x^2\right)+y+x\frac{d}{dx}\left(y\right)-\frac{d}{dx}\left(y^2\right)=0$

6

Utilizando la regla de diferenciación de potencias, la derivada de la función lineal es $1$

$\frac{d}{dx}\left(x^2\right)+y+x\frac{d}{dx}\left(y\right)-\frac{d}{dx}\left(y^2\right)=0$

Utilizando la regla de diferenciación de potencias, la derivada de la función lineal es $1$

$\frac{d}{dx}\left(x^2\right)+1y+x\frac{d}{dx}\left(y\right)-\frac{d}{dx}\left(y^2\right)=0$

Cualquier expresión algebraica multiplicada por uno es igual a esa misma expresión

$\frac{d}{dx}\left(x^2\right)+y+x\frac{d}{dx}\left(y\right)-\frac{d}{dx}\left(y^2\right)=0$

$\frac{d}{dx}\left(x^2\right)+y+1xy^{\prime}-\frac{d}{dx}\left(y^2\right)=0$

Cualquier expresión algebraica multiplicada por uno es igual a esa misma expresión

$\frac{d}{dx}\left(x^2\right)+y+xy^{\prime}-\frac{d}{dx}\left(y^2\right)=0$

7

Utilizando la regla de diferenciación de potencias, la derivada de la función lineal es $1$

$\frac{d}{dx}\left(x^2\right)+y+xy^{\prime}-\frac{d}{dx}\left(y^2\right)=0$

Utilizamos la regla de diferenciación de potencias, la cual dice que si $n$ es un número real y si $f(x) = x^n$, entonces $f'(x) = nx^{n-1}$

$\frac{d}{dx}\left(x^2\right)+y+xy^{\prime}-1\cdot 2y^{\left(2-1\right)}\frac{d}{dx}\left(y\right)=0$

Restar los valores $2$ y $-1$

$\frac{d}{dx}\left(x^2\right)+y+xy^{\prime}-1\cdot 2y^{1}\frac{d}{dx}\left(y\right)=0$

Multiplicar $-1$ por $2$

$\frac{d}{dx}\left(x^2\right)+y+xy^{\prime}-2y^{1}\frac{d}{dx}\left(y\right)=0$

Cualquier expresión elevada a la potencia uno es igual a esa misma expresión

$\frac{d}{dx}\left(x^2\right)+y+xy^{\prime}-2y\frac{d}{dx}\left(y\right)=0$

8