f(x)=(x^2+3)^(5x-1) −6 −5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 6 −3 -2.5 −2 -1.5 −1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 x y
Ejerciciod d x ( ( x 2 + 3 ) 5 x − 1 ) \frac{d}{dx}\left(\left(x^2+3\right)^{5x-1}\right) d x d ( ( x 2 + 3 ) 5 x − 1 )
Solución explicada paso por paso
1
Para derivar la función ( x 2 + 3 ) ( 5 x − 1 ) \left(x^2+3\right)^{\left(5x-1\right)} ( x 2 + 3 ) ( 5 x − 1 ) y y y
y = ( x 2 + 3 ) ( 5 x − 1 ) y=\left(x^2+3\right)^{\left(5x-1\right)} y = ( x 2 + 3 ) ( 5 x − 1 )
2
Aplicar logaritmo natural a ambos lados de la igualdad
ln ( y ) = ln ( ( x 2 + 3 ) ( 5 x − 1 ) ) \ln\left(y\right)=\ln\left(\left(x^2+3\right)^{\left(5x-1\right)}\right) ln ( y ) = ln ( ( x 2 + 3 ) ( 5 x − 1 ) )
3
El logaritmo de una potencia es igual al producto del exponente por el logaritmo de la base: log a ( x n ) = n ⋅ log a ( x ) \log_a(x^n)=n\cdot\log_a(x) log a ( x n ) = n ⋅ log a ( x )
ln ( y ) = ( 5 x − 1 ) ln ( x 2 + 3 ) \ln\left(y\right)=\left(5x-1\right)\ln\left(x^2+3\right) ln ( y ) = ( 5 x − 1 ) ln ( x 2 + 3 )
4
Derivar ambos lados de la igualdad con respecto a x x x
d d x ( ln ( y ) ) = d d x ( ( 5 x − 1 ) ln ( x 2 + 3 ) ) \frac{d}{dx}\left(\ln\left(y\right)\right)=\frac{d}{dx}\left(\left(5x-1\right)\ln\left(x^2+3\right)\right) d x d ( ln ( y ) ) = d x d ( ( 5 x − 1 ) ln ( x 2 + 3 ) )
5
Aplicando la derivada del producto de dos funciones: ( f ⋅ g ) ′ = f ′ ⋅ g + f ⋅ g ′ (f\cdot g)'=f'\cdot g+f\cdot g' ( f ⋅ g ) ′ = f ′ ⋅ g + f ⋅ g ′ f = 5 x − 1 f=5x-1 f = 5 x − 1 g = ln ( x 2 + 3 ) g=\ln\left(x^2+3\right) g = ln ( x 2 + 3 )
d d x ( ln ( y ) ) = d d x ( 5 x − 1 ) ln ( x 2 + 3 ) + ( 5 x − 1 ) d d x ( ln ( x 2 + 3 ) ) \frac{d}{dx}\left(\ln\left(y\right)\right)=\frac{d}{dx}\left(5x-1\right)\ln\left(x^2+3\right)+\left(5x-1\right)\frac{d}{dx}\left(\ln\left(x^2+3\right)\right) d x d ( ln ( y ) ) = d x d ( 5 x − 1 ) ln ( x 2 + 3 ) + ( 5 x − 1 ) d x d ( ln ( x 2 + 3 ) )
Pasos intermedios
6
La derivada del logaritmo natural es igual a la derivada de la función dividida por la función. Si f ( x ) = l n a f(x)=ln\:a f ( x ) = l n a a a a x x x f ′ ( x ) = a ′ a \displaystyle f'(x)=\frac{a'}{a} f ′ ( x ) = a a ′
1 y d d x ( y ) = d d x ( 5 x − 1 ) ln ( x 2 + 3 ) + ( 5 x − 1 ) 1 x 2 + 3 d d x ( x 2 + 3 ) \frac{1}{y}\frac{d}{dx}\left(y\right)=\frac{d}{dx}\left(5x-1\right)\ln\left(x^2+3\right)+\left(5x-1\right)\frac{1}{x^2+3}\frac{d}{dx}\left(x^2+3\right) y 1 d x d ( y ) = d x d ( 5 x − 1 ) ln ( x 2 + 3 ) + ( 5 x − 1 ) x 2 + 3 1 d x d ( x 2 + 3 )
Explicar más este paso
7
Utilizando la regla de diferenciación de potencias, la derivada de la función lineal es igual a 1 1 1
y ′ y = d d x ( 5 x − 1 ) ln ( x 2 + 3 ) + ( 5 x − 1 ) 1 x 2 + 3 d d x ( x 2 + 3 ) \frac{y^{\prime}}{y}=\frac{d}{dx}\left(5x-1\right)\ln\left(x^2+3\right)+\left(5x-1\right)\frac{1}{x^2+3}\frac{d}{dx}\left(x^2+3\right) y y ′ = d x d ( 5 x − 1 ) ln ( x 2 + 3 ) + ( 5 x − 1 ) x 2 + 3 1 d x d ( x 2 + 3 )
Pasos intermedios
8
La derivada de la suma de dos o más funciones equivale a la suma de las derivadas de cada función por separado
y ′ y = d d x ( 5 x ) ln ( x 2 + 3 ) + ( 5 x − 1 ) 1 x 2 + 3 d d x ( x 2 + 3 ) \frac{y^{\prime}}{y}=\frac{d}{dx}\left(5x\right)\ln\left(x^2+3\right)+\left(5x-1\right)\frac{1}{x^2+3}\frac{d}{dx}\left(x^2+3\right) y y ′ = d x d ( 5 x ) ln ( x 2 + 3 ) + ( 5 x − 1 ) x 2 + 3 1 d x d ( x 2 + 3 )
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Pasos intermedios
9
La derivada de la suma de dos o más funciones equivale a la suma de las derivadas de cada función por separado
y ′ y = d d x ( 5 x ) ln ( x 2 + 3 ) + ( 5 x − 1 ) 1 x 2 + 3 d d x ( x 2 ) \frac{y^{\prime}}{y}=\frac{d}{dx}\left(5x\right)\ln\left(x^2+3\right)+\left(5x-1\right)\frac{1}{x^2+3}\frac{d}{dx}\left(x^2\right) y y ′ = d x d ( 5 x ) ln ( x 2 + 3 ) + ( 5 x − 1 ) x 2 + 3 1 d x d ( x 2 )
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Pasos intermedios
10
La derivada de una función lineal multiplicada por una constante, es igual a la constante
y ′ y = 5 d d x ( x ) ln ( x 2 + 3 ) + ( 5 x − 1 ) 1 x 2 + 3 d d x ( x 2 ) \frac{y^{\prime}}{y}=5\frac{d}{dx}\left(x\right)\ln\left(x^2+3\right)+\left(5x-1\right)\frac{1}{x^2+3}\frac{d}{dx}\left(x^2\right) y y ′ = 5 d x d ( x ) ln ( x 2 + 3 ) + ( 5 x − 1 ) x 2 + 3 1 d x d ( x 2 )
Explicar más este paso
11
Utilizando la regla de diferenciación de potencias, la derivada de la función lineal es igual a 1 1 1
y ′ y = 5 ln ( x 2 + 3 ) + ( 5 x − 1 ) 1 x 2 + 3 d d x ( x 2 ) \frac{y^{\prime}}{y}=5\ln\left(x^2+3\right)+\left(5x-1\right)\frac{1}{x^2+3}\frac{d}{dx}\left(x^2\right) y y ′ = 5 ln ( x 2 + 3 ) + ( 5 x − 1 ) x 2 + 3 1 d x d ( x 2 )
Pasos intermedios
12
Utilizamos la regla de diferenciación de potencias, la cual dice que si n n n f ( x ) = x n f(x) = x^n f ( x ) = x n f ′ ( x ) = n x n − 1 f'(x) = nx^{n-1} f ′ ( x ) = n x n − 1
y ′ y = 5 ln ( x 2 + 3 ) + 2 ( 5 x − 1 ) 1 x 2 + 3 x \frac{y^{\prime}}{y}=5\ln\left(x^2+3\right)+2\left(5x-1\right)\frac{1}{x^2+3}x y y ′ = 5 ln ( x 2 + 3 ) + 2 ( 5 x − 1 ) x 2 + 3 1 x
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Pasos intermedios
13
Multiplicar la fracción por el término
y ′ y = 5 ln ( x 2 + 3 ) + 2 ( 5 x − 1 ) x x 2 + 3 \frac{y^{\prime}}{y}=5\ln\left(x^2+3\right)+\frac{2\left(5x-1\right)x}{x^2+3} y y ′ = 5 ln ( x 2 + 3 ) + x 2 + 3 2 ( 5 x − 1 ) x
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14
Multiplicar ambos miembros de la ecuación por y y y
y ′ = ( 5 ln ( x 2 + 3 ) + 2 ( 5 x − 1 ) x x 2 + 3 ) y y^{\prime}=\left(5\ln\left(x^2+3\right)+\frac{2\left(5x-1\right)x}{x^2+3}\right)y y ′ = ( 5 ln ( x 2 + 3 ) + x 2 + 3 2 ( 5 x − 1 ) x ) y
15
Reemplazar el valor de y y y ( x 2 + 3 ) ( 5 x − 1 ) \left(x^2+3\right)^{\left(5x-1\right)} ( x 2 + 3 ) ( 5 x − 1 )
y ′ = ( 5 ln ( x 2 + 3 ) + 2 ( 5 x − 1 ) x x 2 + 3 ) ( x 2 + 3 ) ( 5 x − 1 ) y^{\prime}=\left(5\ln\left(x^2+3\right)+\frac{2\left(5x-1\right)x}{x^2+3}\right)\left(x^2+3\right)^{\left(5x-1\right)} y ′ = ( 5 ln ( x 2 + 3 ) + x 2 + 3 2 ( 5 x − 1 ) x ) ( x 2 + 3 ) ( 5 x − 1 )
16
La derivada de la función es entonces
( 5 ln ( x 2 + 3 ) + 2 ( 5 x − 1 ) x x 2 + 3 ) ( x 2 + 3 ) ( 5 x − 1 ) \left(5\ln\left(x^2+3\right)+\frac{2\left(5x-1\right)x}{x^2+3}\right)\left(x^2+3\right)^{\left(5x-1\right)} ( 5 ln ( x 2 + 3 ) + x 2 + 3 2 ( 5 x − 1 ) x ) ( x 2 + 3 ) ( 5 x − 1 )
Respuesta final al problema ( 5 ln ( x 2 + 3 ) + 2 ( 5 x − 1 ) x x 2 + 3 ) ( x 2 + 3 ) ( 5 x − 1 ) \left(5\ln\left(x^2+3\right)+\frac{2\left(5x-1\right)x}{x^2+3}\right)\left(x^2+3\right)^{\left(5x-1\right)} ( 5 ln ( x 2 + 3 ) + x 2 + 3 2 ( 5 x − 1 ) x ) ( x 2 + 3 ) ( 5 x − 1 )