Ejercicio$\frac{d}{dx}\left(\left(x^2+3\right)^{5x-1}\right)$
Solución explicada paso por paso
1
Para derivar la función $\left(x^2+3\right)^{\left(5x-1\right)}$ utilizamos el método de diferenciación logarítmica. Primero, igualamos la función a $y$, luego aplicamos logaritmo natural a ambos miembros de la ecuación
$y=\left(x^2+3\right)^{\left(5x-1\right)}$
2
Aplicar logaritmo natural a ambos lados de la igualdad
$\ln\left(y\right)=\ln\left(\left(x^2+3\right)^{\left(5x-1\right)}\right)$
3
El logaritmo de una potencia es igual al producto del exponente por el logaritmo de la base: $\log_a(x^n)=n\cdot\log_a(x)$
$\ln\left(y\right)=\left(5x-1\right)\ln\left(x^2+3\right)$
4
Derivar ambos lados de la igualdad con respecto a $x$
$\frac{d}{dx}\left(\ln\left(y\right)\right)=\frac{d}{dx}\left(\left(5x-1\right)\ln\left(x^2+3\right)\right)$
5
Aplicando la derivada del producto de dos funciones: $(f\cdot g)'=f'\cdot g+f\cdot g'$, donde $f=5x-1$ y $g=\ln\left(x^2+3\right)$
$\frac{d}{dx}\left(\ln\left(y\right)\right)=\frac{d}{dx}\left(5x-1\right)\ln\left(x^2+3\right)+\left(5x-1\right)\frac{d}{dx}\left(\ln\left(x^2+3\right)\right)$
Pasos intermedios
6
La derivada del logaritmo natural es igual a la derivada de la función dividida por la función. Si $f(x)=ln\:a$ (donde $a$ está en función de $x$), entonces $\displaystyle f'(x)=\frac{a'}{a}$
$\frac{1}{y}\frac{d}{dx}\left(y\right)=\frac{d}{dx}\left(5x-1\right)\ln\left(x^2+3\right)+\left(5x-1\right)\frac{1}{x^2+3}\frac{d}{dx}\left(x^2+3\right)$
Explicar más este paso
7
Utilizando la regla de diferenciación de potencias, la derivada de la función lineal es igual a $1$
$\frac{y^{\prime}}{y}=\frac{d}{dx}\left(5x-1\right)\ln\left(x^2+3\right)+\left(5x-1\right)\frac{1}{x^2+3}\frac{d}{dx}\left(x^2+3\right)$
Pasos intermedios
8
La derivada de la suma de dos o más funciones equivale a la suma de las derivadas de cada función por separado
$\frac{y^{\prime}}{y}=\frac{d}{dx}\left(5x\right)\ln\left(x^2+3\right)+\left(5x-1\right)\frac{1}{x^2+3}\frac{d}{dx}\left(x^2+3\right)$
Explicar más este paso
Pasos intermedios
9
La derivada de la suma de dos o más funciones equivale a la suma de las derivadas de cada función por separado
$\frac{y^{\prime}}{y}=\frac{d}{dx}\left(5x\right)\ln\left(x^2+3\right)+\left(5x-1\right)\frac{1}{x^2+3}\frac{d}{dx}\left(x^2\right)$
Explicar más este paso
Pasos intermedios
10
La derivada de una función lineal multiplicada por una constante, es igual a la constante
$\frac{y^{\prime}}{y}=5\frac{d}{dx}\left(x\right)\ln\left(x^2+3\right)+\left(5x-1\right)\frac{1}{x^2+3}\frac{d}{dx}\left(x^2\right)$
Explicar más este paso
11
Utilizando la regla de diferenciación de potencias, la derivada de la función lineal es igual a $1$
$\frac{y^{\prime}}{y}=5\ln\left(x^2+3\right)+\left(5x-1\right)\frac{1}{x^2+3}\frac{d}{dx}\left(x^2\right)$
Pasos intermedios
12
Utilizamos la regla de diferenciación de potencias, la cual dice que si $n$ es un número real y si $f(x) = x^n$, entonces $f'(x) = nx^{n-1}$
$\frac{y^{\prime}}{y}=5\ln\left(x^2+3\right)+2\left(5x-1\right)\frac{1}{x^2+3}x$
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Pasos intermedios
13
Multiplicar la fracción por el término
$\frac{y^{\prime}}{y}=5\ln\left(x^2+3\right)+\frac{2\left(5x-1\right)x}{x^2+3}$
Explicar más este paso
14
Multiplicar ambos miembros de la ecuación por $y$
$y^{\prime}=\left(5\ln\left(x^2+3\right)+\frac{2\left(5x-1\right)x}{x^2+3}\right)y$
15
Reemplazar el valor de $y$ por el valor de la función original: $\left(x^2+3\right)^{\left(5x-1\right)}$
$y^{\prime}=\left(5\ln\left(x^2+3\right)+\frac{2\left(5x-1\right)x}{x^2+3}\right)\left(x^2+3\right)^{\left(5x-1\right)}$
16
La derivada de la función es entonces
$\left(5\ln\left(x^2+3\right)+\frac{2\left(5x-1\right)x}{x^2+3}\right)\left(x^2+3\right)^{\left(5x-1\right)}$
Pasos intermedios
17
Simplificar la derivada
$\left(5x^2\ln\left(x^2+3\right)+15\ln\left(x^2+3\right)+10x^2-2x\right)\left(x^2+3\right)^{\left(5x-2\right)}$
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Respuesta final al problema $\left(5x^2\ln\left(x^2+3\right)+15\ln\left(x^2+3\right)+10x^2-2x\right)\left(x^2+3\right)^{\left(5x-2\right)}$