Podemos resolver la integral $\int xe^{2x}dx$ aplicando el método de integración por sustitución o cambio de variable. Primero, debemos identificar una sección dentro de la integral con una nueva variable (llamémosla $u$), que al ser sustituida, haga la expresión dentro de la integral más sencilla. Podemos ver que $2x$ es un buen candidato para ser sustituido. A continuación, definamos la variable $u$ y asignémosle el candidato

Sacar el término constante $\frac{1}{4}$ de la integral

Podemos resolver la integral $\int ue^udu$ aplicando el método de integración por partes para calcular la integral del producto de dos funciones, mediante la siguiente fórmula

Luego, identificamos $dv$ y calculamos $v$

Calcular la integral para hallar $v$

La integral de la función exponencial se resuelve aplicando la fórmula $\displaystyle \int a^xdx=\frac{a^x}{\ln(a)}$, donde $a > 0$ y $a \neq 1$

Con los valores obtenidos, sustituimos $u$, $du$ y $v$ en la fórmula general

Multiplicar el término $\frac{1}{4}$ por cada término del polinomio $\left(e^u\cdot u-\int e^udu\right)$

Multiplicando la fracción por $-1$

Multiplicar la fracción y el término en $2\cdot \frac{1}{4}e^{2x}x$

Después de juntar los resultados de todas las integrales individuales, obtenemos

Como la integral que estamos resolviendo es una integral indefinida, al terminar de integrar debemos añadir la constante de integración $C$