Podemos resolver la integral $\int\frac{x^2}{\sqrt{x^2+6}}dx$ aplicando el método de integración por sustitución o cambio de variable. Primero, debemos identificar una sección dentro de la integral con una nueva variable (llamémosla $u$), que al ser sustituida, haga la expresión dentro de la integral más sencilla. Podemos ver que $\sqrt{x^2+6}$ es un buen candidato para ser sustituido. A continuación, definamos la variable $u$ y asignémosle el candidato
Ahora, para poder reescribir $dx$ en términos de $du$, necesitamos encontrar la derivada de $u$. Por lo tanto, necesitamos calcular $du$, podemos hacerlo derivando la ecuación del paso anterior
Despejando $dx$ de la ecuación anterior
Reescribir $x$ en términos de $u$
Sustituimos $u$, $dx$ y $x$ en la integral y luego simplificamos
Podemos resolver la integral $\int\sqrt{u^2-6}du$ mediante el método de integración por sustitución trigonométrica. Tomamos el cambio de variable
Ahora, para poder reescribir $d\theta$ en términos de $du$, necesitamos encontrar la derivada de $u$. Por lo tanto, necesitamos calcular $du$, podemos hacerlo derivando la ecuación del paso anterior
Sustituyendo en la integral original, obtenemos
Factoizar el polinomio $6\sec\left(\theta \right)^2-6$ por su máximo común divisor (MCD): $6$
Aplicando la regla de potencia de un producto
Aplicamos la identidad trigonométrica: $\sec\left(\theta \right)^2-1$$=\tan\left(\theta \right)^2$, donde $x=\theta $
La integral de una función multiplicada por una constante ($\sqrt{6}$) es igual a la constante multiplicada por la integral de la función
La integral de una función multiplicada por una constante ($\sqrt{6}$) es igual a la constante multiplicada por la integral de la función
Simplificar $\sqrt{\tan\left(\theta \right)^2}$ aplicando la regla de potencia de una potencia: $\left(a^m\right)^n=a^{m\cdot n}$. En la expresión, $m$ es igual a $2$ y $n$ es igual a $\frac{1}{2}$
Al multiplicar dos potencias de igual base ($\sqrt{6}$), se pueden sumar los exponentes
Al multiplicar dos potencias de igual base ($\tan\left(\theta \right)$), se pueden sumar los exponentes
Podemos identificar que la integral es de la forma $\int\tan^m(x)\sec^n(x)dx$. Si la potencia $n$ es impar y $m$ es par, entonces debemos expresar todas las funciones en términos de secantes, expandir e integrar por separado
Multiplicar el término $\sec\left(\theta \right)$ por cada término del polinomio $\left(\sec\left(\theta \right)^2-1\right)$
Expandir la integral $\int\left(\sec\left(\theta \right)^{3}-\sec\left(\theta \right)\right)d\theta$ en $2$ integrales usando la regla de la integral de una suma de funciones, para luego resolver cada integral por separado
La integral $6\int\sec\left(\theta \right)^{3}d\theta$ da como resultado: $\frac{1}{2}x\sqrt{x^2+6}+3\ln\left(\frac{\sqrt{x^2+6}+x}{\sqrt{6}}\right)$
Después de juntar los resultados de todas las integrales individuales, obtenemos
La integral $-6\int\sec\left(\theta \right)d\theta$ da como resultado: $-6\ln\left(\frac{u+\sqrt{u^2-6}}{\sqrt{6}}\right)$
Después de juntar los resultados de todas las integrales individuales, obtenemos
Como la integral que estamos resolviendo es una integral indefinida, al terminar de integrar debemos añadir la constante de integración $C$
Simplificar la expresión aplicando la propiedad del logaritmo de un cociente
Simplificar la expresión aplicando la propiedad del logaritmo de un cociente
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