Ejercicio$\frac{\left(1-x^2\right)^2}{x^2+2x+1}$
Solución explicada paso por paso
1
Para derivar la función $\frac{\left(1-x^2\right)^2}{x^2+2x+1}$ utilizamos el método de diferenciación logarítmica. Primero, igualamos la función a $y$, luego aplicamos logaritmo natural a ambos miembros de la ecuación
$y=\frac{\left(1-x^2\right)^2}{x^2+2x+1}$
2
Aplicar logaritmo natural a ambos lados de la igualdad
$\ln\left(y\right)=\ln\left(\frac{\left(1-x^2\right)^2}{x^2+2x+1}\right)$
Pasos intermedios
3
Aplicar propiedades de los logaritmos a ambos lados de la igualdad
$\ln\left(y\right)=2\ln\left(1-x^2\right)-\ln\left(x^2+2x+1\right)$
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4
Derivar ambos lados de la igualdad con respecto a $x$
$\frac{d}{dx}\left(\ln\left(y\right)\right)=\frac{d}{dx}\left(2\ln\left(1-x^2\right)-\ln\left(x^2+2x+1\right)\right)$
5
La derivada del logaritmo natural es igual a la derivada de la función dividida por la función. Si $f(x)=ln\:a$ (donde $a$ está en función de $x$), entonces $\displaystyle f'(x)=\frac{a'}{a}$
$\frac{1}{y}\frac{d}{dx}\left(y\right)=\frac{d}{dx}\left(2\ln\left(1-x^2\right)-\ln\left(x^2+2x+1\right)\right)$
6
Utilizando la regla de diferenciación de potencias, la derivada de la función lineal es igual a $1$
$\frac{y^{\prime}}{y}=\frac{d}{dx}\left(2\ln\left(1-x^2\right)-\ln\left(x^2+2x+1\right)\right)$
7
La derivada de la suma de dos o más funciones equivale a la suma de las derivadas de cada función por separado
$\frac{y^{\prime}}{y}=\frac{d}{dx}\left(2\ln\left(1-x^2\right)\right)+\frac{d}{dx}\left(-\ln\left(x^2+2x+1\right)\right)$
Pasos intermedios
8
La derivada de una función multiplicada por una constante es igual a la constante por la derivada de la función
$\frac{y^{\prime}}{y}=2\frac{d}{dx}\left(\ln\left(1-x^2\right)\right)-\frac{d}{dx}\left(\ln\left(x^2+2x+1\right)\right)$
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Pasos intermedios
9
La derivada del logaritmo natural es igual a la derivada de la función dividida por la función. Si $f(x)=ln\:a$ (donde $a$ está en función de $x$), entonces $\displaystyle f'(x)=\frac{a'}{a}$
$\frac{y^{\prime}}{y}=2\left(\frac{1}{1-x^2}\right)\frac{d}{dx}\left(1-x^2\right)-\left(\frac{1}{x^2+2x+1}\right)\frac{d}{dx}\left(x^2+2x+1\right)$
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10
Multiplicando la fracción por $-1$
$\frac{y^{\prime}}{y}=2\left(\frac{1}{1-x^2}\right)\frac{d}{dx}\left(1-x^2\right)+\frac{-1}{x^2+2x+1}\frac{d}{dx}\left(x^2+2x+1\right)$
Pasos intermedios
11
La derivada de la suma de dos o más funciones equivale a la suma de las derivadas de cada función por separado
$\frac{y^{\prime}}{y}=2\left(\frac{1}{1-x^2}\right)\frac{d}{dx}\left(-x^2\right)+\frac{-1}{x^2+2x+1}\frac{d}{dx}\left(x^2+2x+1\right)$
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Pasos intermedios
12
La derivada de la suma de dos o más funciones equivale a la suma de las derivadas de cada función por separado
$\frac{y^{\prime}}{y}=2\left(\frac{1}{1-x^2}\right)\frac{d}{dx}\left(-x^2\right)+\frac{-1}{x^2+2x+1}\left(\frac{d}{dx}\left(x^2\right)+\frac{d}{dx}\left(2x\right)\right)$
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Pasos intermedios
13
La derivada de una función lineal multiplicada por una constante, es igual a la constante
$\frac{y^{\prime}}{y}=2\left(\frac{1}{1-x^2}\right)\frac{d}{dx}\left(-x^2\right)+\frac{-1}{x^2+2x+1}\left(\frac{d}{dx}\left(x^2\right)+2\frac{d}{dx}\left(x\right)\right)$
Explicar más este paso
14
Utilizando la regla de diferenciación de potencias, la derivada de la función lineal es igual a $1$
$\frac{y^{\prime}}{y}=2\left(\frac{1}{1-x^2}\right)\frac{d}{dx}\left(-x^2\right)+\frac{-1}{x^2+2x+1}\left(\frac{d}{dx}\left(x^2\right)+2\right)$
Pasos intermedios
15
La derivada de una función multiplicada por una constante es igual a la constante por la derivada de la función
$\frac{y^{\prime}}{y}=-2\left(\frac{1}{1-x^2}\right)\frac{d}{dx}\left(x^2\right)+\frac{-1}{x^2+2x+1}\left(\frac{d}{dx}\left(x^2\right)+2\right)$
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Pasos intermedios
16
Utilizamos la regla de diferenciación de potencias, la cual dice que si $n$ es un número real y si $f(x) = x^n$, entonces $f'(x) = nx^{n-1}$
$\frac{y^{\prime}}{y}=-2\cdot 2\left(\frac{1}{1-x^2}\right)x+\frac{-1}{x^2+2x+1}\left(2x+2\right)$
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17
Multiplicar $-2$ por $2$
$\frac{y^{\prime}}{y}=-4\left(\frac{1}{1-x^2}\right)x+\frac{-1}{x^2+2x+1}\left(2x+2\right)$
Pasos intermedios
18
Multiplicar la fracción por el término
$\frac{y^{\prime}}{y}=\frac{-4x}{1-x^2}+\frac{-\left(2x+2\right)}{x^2+2x+1}$
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19
Simplificar el producto $-(2x+2)$
$\frac{y^{\prime}}{y}=\frac{-4x}{1-x^2}+\frac{-2x-2}{x^2+2x+1}$
20
El trinomio $x^2+2x+1$ es un trinomio cuadrado perfecto, ya que su discriminante es igual a cero
$\Delta=b^2-4ac=2^2-4\left(1\right)\left(1\right) = 0$
21
Utilizamos la relación del trinomio cuadrado perfecto
$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2,\:donde\:a=\sqrt{x^2}\:y\:b=\sqrt{1}$
22
Factorizamos el trinomio cuadrado perfecto
$\frac{y^{\prime}}{y}=\frac{-4x}{1-x^2}+\frac{-2x-2}{\left(x+1\right)^{2}}$
23
Multiplicar ambos miembros de la ecuación por $y$
$y^{\prime}=\left(\frac{-4x}{1-x^2}+\frac{-2x-2}{\left(x+1\right)^{2}}\right)y$
24
Reemplazar el valor de $y$ por el valor de la función original: $\frac{\left(1-x^2\right)^2}{x^2+2x+1}$
$y^{\prime}=\left(\frac{-4x}{1-x^2}+\frac{-2x-2}{\left(x+1\right)^{2}}\right)\frac{\left(1-x^2\right)^2}{x^2+2x+1}$
25
La derivada de la función es entonces
$\left(\frac{-4x}{1-x^2}+\frac{-2x-2}{\left(x+1\right)^{2}}\right)\frac{\left(1-x^2\right)^2}{x^2+2x+1}$
Respuesta final al problema $\left(\frac{-4x}{1-x^2}+\frac{-2x-2}{\left(x+1\right)^{2}}\right)\frac{\left(1-x^2\right)^2}{x^2+2x+1}$