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Derivar usando el método de diferenciación logarítmica $\frac{\left(1-x^2\right)^2}{x^2+2x+1}$

Solución Paso a paso

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Solución

Respuesta final al problema

$\frac{\left(-4x-2x^2-2\right)\left(1-x^2\right)^2}{\left(x+1\right)^{4}\left(1-x\right)}$
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Solución explicada paso por paso

¿Cómo debo resolver este problema?

  • Hallar la derivada usando diferenciación logarítmica
  • Derivar usando la definición
  • Hallar la derivada con la regla del producto
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  • Hallar la derivada
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Para derivar la función $\frac{\left(1-x^2\right)^2}{x^2+2x+1}$ utilizamos el método de diferenciación logarítmica. Primero, igualamos la función a $y$, luego aplicamos logaritmo natural a ambos miembros de la ecuación

$y=\frac{\left(1-x^2\right)^2}{x^2+2x+1}$
2

Aplicar logaritmo natural a ambos lados de la igualdad

$\ln\left(y\right)=\ln\left(\frac{\left(1-x^2\right)^2}{x^2+2x+1}\right)$
3

Aplicar propiedades de los logaritmos a ambos lados de la igualdad

$\ln\left(y\right)=2\ln\left(1-x^2\right)-\ln\left(x^2+2x+1\right)$
4

Derivar ambos lados de la igualdad con respecto a $x$

$\frac{d}{dx}\left(\ln\left(y\right)\right)=\frac{d}{dx}\left(2\ln\left(1-x^2\right)-\ln\left(x^2+2x+1\right)\right)$
5

La derivada del logaritmo natural es igual a la derivada de la función dividida por la función. Si $f(x)=ln\:a$ (donde $a$ está en función de $x$), entonces $\displaystyle f'(x)=\frac{a'}{a}$

$\frac{1}{y}\frac{d}{dx}\left(y\right)=\frac{d}{dx}\left(2\ln\left(1-x^2\right)-\ln\left(x^2+2x+1\right)\right)$
6

Utilizando la regla de diferenciación de potencias, la derivada de la función lineal es igual a $1$

$\frac{y^{\prime}}{y}=\frac{d}{dx}\left(2\ln\left(1-x^2\right)-\ln\left(x^2+2x+1\right)\right)$
7

La derivada de la suma de dos o más funciones equivale a la suma de las derivadas de cada función por separado

$\frac{y^{\prime}}{y}=\frac{d}{dx}\left(2\ln\left(1-x^2\right)\right)+\frac{d}{dx}\left(-\ln\left(x^2+2x+1\right)\right)$
8

La derivada de una función multiplicada por una constante es igual a la constante por la derivada de la función

$\frac{y^{\prime}}{y}=2\frac{d}{dx}\left(\ln\left(1-x^2\right)\right)-\frac{d}{dx}\left(\ln\left(x^2+2x+1\right)\right)$
9

La derivada del logaritmo natural es igual a la derivada de la función dividida por la función. Si $f(x)=ln\:a$ (donde $a$ está en función de $x$), entonces $\displaystyle f'(x)=\frac{a'}{a}$

$\frac{y^{\prime}}{y}=2\left(\frac{1}{1-x^2}\right)\frac{d}{dx}\left(1-x^2\right)-\left(\frac{1}{x^2+2x+1}\right)\frac{d}{dx}\left(x^2+2x+1\right)$
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Multiplicando la fracción por $-1$

$\frac{y^{\prime}}{y}=2\left(\frac{1}{1-x^2}\right)\frac{d}{dx}\left(1-x^2\right)+\frac{-1}{x^2+2x+1}\frac{d}{dx}\left(x^2+2x+1\right)$
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La derivada de la suma de dos o más funciones equivale a la suma de las derivadas de cada función por separado

$\frac{y^{\prime}}{y}=2\left(\frac{1}{1-x^2}\right)\frac{d}{dx}\left(-x^2\right)+\frac{-1}{x^2+2x+1}\frac{d}{dx}\left(x^2+2x+1\right)$
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La derivada de la suma de dos o más funciones equivale a la suma de las derivadas de cada función por separado

$\frac{y^{\prime}}{y}=2\left(\frac{1}{1-x^2}\right)\frac{d}{dx}\left(-x^2\right)+\frac{-1}{x^2+2x+1}\left(\frac{d}{dx}\left(x^2\right)+\frac{d}{dx}\left(2x\right)\right)$
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La derivada de una función lineal multiplicada por una constante, es igual a la constante

$\frac{y^{\prime}}{y}=2\left(\frac{1}{1-x^2}\right)\frac{d}{dx}\left(-x^2\right)+\frac{-1}{x^2+2x+1}\left(\frac{d}{dx}\left(x^2\right)+2\frac{d}{dx}\left(x\right)\right)$
14

Utilizando la regla de diferenciación de potencias, la derivada de la función lineal es igual a $1$

$\frac{y^{\prime}}{y}=2\left(\frac{1}{1-x^2}\right)\frac{d}{dx}\left(-x^2\right)+\frac{-1}{x^2+2x+1}\left(\frac{d}{dx}\left(x^2\right)+2\right)$
15

La derivada de una función multiplicada por una constante es igual a la constante por la derivada de la función

$\frac{y^{\prime}}{y}=-2\left(\frac{1}{1-x^2}\right)\frac{d}{dx}\left(x^2\right)+\frac{-1}{x^2+2x+1}\left(\frac{d}{dx}\left(x^2\right)+2\right)$
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Utilizamos la regla de diferenciación de potencias, la cual dice que si $n$ es un número real y si $f(x) = x^n$, entonces $f'(x) = nx^{n-1}$

$\frac{y^{\prime}}{y}=-2\cdot 2\left(\frac{1}{1-x^2}\right)x+\frac{-1}{x^2+2x+1}\left(2x+2\right)$
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Multiplicar $-2$ por $2$

$\frac{y^{\prime}}{y}=-4\left(\frac{1}{1-x^2}\right)x+\frac{-1}{x^2+2x+1}\left(2x+2\right)$
18

Multiplicar la fracción por el término

$\frac{y^{\prime}}{y}=\frac{-4x}{1-x^2}+\frac{-\left(2x+2\right)}{x^2+2x+1}$
19

Simplificar el producto $-(2x+2)$

$\frac{y^{\prime}}{y}=\frac{-4x}{1-x^2}+\frac{-2x-2}{x^2+2x+1}$
20

El trinomio $x^2+2x+1$ es un trinomio cuadrado perfecto, ya que su discriminante es igual a cero

$\Delta=b^2-4ac=2^2-4\left(1\right)\left(1\right) = 0$
21

Utilizamos la relación del trinomio cuadrado perfecto

$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2,\:donde\:a=\sqrt{x^2}\:y\:b=\sqrt{1}$
22

Factorizamos el trinomio cuadrado perfecto

$\frac{y^{\prime}}{y}=\frac{-4x}{1-x^2}+\frac{-2x-2}{\left(x+1\right)^{2}}$
23

Multiplicar ambos miembros de la ecuación por $y$

$y^{\prime}=\left(\frac{-4x}{1-x^2}+\frac{-2x-2}{\left(x+1\right)^{2}}\right)y$
24

Reemplazar el valor de $y$ por el valor de la función original: $\frac{\left(1-x^2\right)^2}{x^2+2x+1}$

$y^{\prime}=\left(\frac{-4x}{1-x^2}+\frac{-2x-2}{\left(x+1\right)^{2}}\right)\frac{\left(1-x^2\right)^2}{x^2+2x+1}$
25

La derivada de la función es entonces

$\left(\frac{-4x}{1-x^2}+\frac{-2x-2}{\left(x+1\right)^{2}}\right)\frac{\left(1-x^2\right)^2}{x^2+2x+1}$
26

Simplificar la derivada

$\frac{\left(-4x-2x^2-2\right)\left(1-x^2\right)^2}{\left(x+1\right)^{4}\left(1-x\right)}$

Respuesta final al problema

$\frac{\left(-4x-2x^2-2\right)\left(1-x^2\right)^2}{\left(x+1\right)^{4}\left(1-x\right)}$

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Resolver un ejercicio matemático utilizando diferentes métodos es importante porque mejora la comprensión, fomenta el pensamiento crítico, permite múltiples soluciones y desarrolla distintas estrategias de resolución de problemas. Leer más

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Gráfico de la Función

Gráfico de: $\frac{\left(-4x-2x^2-2\right)\left(1-x^2\right)^2}{\left(x+1\right)^{4}\left(1-x\right)}$

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