Ejercicio$\frac{x^5-x^4+x^2-2}{x^2+1}$
Solución explicada paso por paso
$\int\frac{x^5-x^4+x^2-2}{x^2+1}dx$
2
Realizamos la división de polinomios, $x^5-x^4+x^2-2$ entre $x^2+1$
$\begin{array}{l}\phantom{\phantom{;}x^{2}+1;}{\phantom{;}x^{3}-x^{2}-x\phantom{;}+2\phantom{;}\phantom{;}}\\\phantom{;}x^{2}+1\overline{\smash{)}\phantom{;}x^{5}-x^{4}\phantom{-;x^n}+x^{2}\phantom{-;x^n}-2\phantom{;}\phantom{;}}\\\phantom{\phantom{;}x^{2}+1;}\underline{-x^{5}\phantom{-;x^n}-x^{3}\phantom{-;x^n}\phantom{-;x^n}\phantom{-;x^n}}\\\phantom{-x^{5}-x^{3};}-x^{4}-x^{3}+x^{2}\phantom{-;x^n}-2\phantom{;}\phantom{;}\\\phantom{\phantom{;}x^{2}+1-;x^n;}\underline{\phantom{;}x^{4}\phantom{-;x^n}+x^{2}\phantom{-;x^n}\phantom{-;x^n}}\\\phantom{;\phantom{;}x^{4}+x^{2}-;x^n;}-x^{3}+2x^{2}\phantom{-;x^n}-2\phantom{;}\phantom{;}\\\phantom{\phantom{;}x^{2}+1-;x^n-;x^n;}\underline{\phantom{;}x^{3}\phantom{-;x^n}+x\phantom{;}\phantom{-;x^n}}\\\phantom{;;\phantom{;}x^{3}+x\phantom{;}-;x^n-;x^n;}\phantom{;}2x^{2}+x\phantom{;}-2\phantom{;}\phantom{;}\\\phantom{\phantom{;}x^{2}+1-;x^n-;x^n-;x^n;}\underline{-2x^{2}\phantom{-;x^n}-2\phantom{;}\phantom{;}}\\\phantom{;;;-2x^{2}-2\phantom{;}\phantom{;}-;x^n-;x^n-;x^n;}\phantom{;}x\phantom{;}-4\phantom{;}\phantom{;}\\\end{array}$
3
Polinomio resultado de la división
$\int\left(x^{3}-x^{2}-x+2+\frac{x-4}{x^2+1}\right)dx$
4
Expandir la integral $\int\left(x^{3}-x^{2}-x+2+\frac{x-4}{x^2+1}\right)dx$ en $5$ integrales usando la regla de la integral de una suma de funciones, para luego resolver cada integral por separado
$\int x^{3}dx+\int-x^{2}dx+\int-xdx+\int2dx+\int\frac{x-4}{x^2+1}dx$
Pasos intermedios
5
La integral $\int x^{3}dx$ da como resultado: $\frac{x^{4}}{4}$
$\frac{x^{4}}{4}$
Explicar más este paso
Pasos intermedios
6
La integral $\int-x^{2}dx$ da como resultado: $\frac{-x^{3}}{3}$
$\frac{-x^{3}}{3}$
Explicar más este paso
Pasos intermedios
7
La integral $\int-xdx$ da como resultado: $-\frac{1}{2}x^2$
$-\frac{1}{2}x^2$
Explicar más este paso
Pasos intermedios
8
La integral $\int2dx$ da como resultado: $2x$
$2x$
Explicar más este paso
Pasos intermedios
9
La integral $\int\frac{x-4}{x^2+1}dx$ da como resultado: $\frac{1}{2}\ln\left(x^2+1\right)-4\arctan\left(x\right)$
$\frac{1}{2}\ln\left(x^2+1\right)-4\arctan\left(x\right)$
Explicar más este paso
10
Después de juntar los resultados de todas las integrales individuales, obtenemos
$\frac{x^{4}}{4}+\frac{-x^{3}}{3}-\frac{1}{2}x^2+2x-4\arctan\left(x\right)+\frac{1}{2}\ln\left|x^2+1\right|$
11
Como la integral que estamos resolviendo es una integral indefinida, al terminar de integrar debemos añadir la constante de integración $C$
$\frac{x^{4}}{4}+\frac{-x^{3}}{3}-\frac{1}{2}x^2+2x-4\arctan\left(x\right)+\frac{1}{2}\ln\left|x^2+1\right|+C_0$
Respuesta final al problema $\frac{x^{4}}{4}+\frac{-x^{3}}{3}-\frac{1}{2}x^2+2x-4\arctan\left(x\right)+\frac{1}{2}\ln\left|x^2+1\right|+C_0$