Podemos resolver la integral $\int\frac{x}{x^2-1}dx$ mediante el método de integración por sustitución trigonométrica. Tomamos el cambio de variable
Ahora, para poder reescribir $d\theta$ en términos de $dx$, necesitamos encontrar la derivada de $x$. Por lo tanto, necesitamos calcular $dx$, podemos hacerlo derivando la ecuación del paso anterior
Sustituyendo en la integral original, obtenemos
Aplicamos la identidad trigonométrica: $\sec\left(\theta \right)^2-1$$=\tan\left(\theta \right)^2$, donde $x=\theta $
Simplificar la fracción por $\tan\left(\theta \right)$
Reescribir la expresión trigonométrica $\frac{\sec\left(\theta \right)^2}{\tan\left(\theta \right)}$ dentro de la integral
Reducir la expresión $\sec\left(\theta \right)\csc\left(\theta \right)$ aplicando identidades trigonométricas
Reescribir la expresión trigonométrica $\frac{\csc\left(\theta \right)}{\cos\left(\theta \right)}$ dentro de la integral
La integral de una función multiplicada por una constante ($2$) es igual a la constante multiplicada por la integral de la función
Podemos resolver la integral $\int\csc\left(2\theta \right)d\theta$ aplicando el método de integración por sustitución o cambio de variable. Primero, debemos identificar una sección dentro de la integral con una nueva variable (llamémosla $u$), que al ser sustituida, haga la expresión dentro de la integral más sencilla. Podemos ver que $2\theta $ es un buen candidato para ser sustituido. A continuación, definamos la variable $u$ y asignémosle el candidato
Ahora, para poder reescribir $d\theta$ en términos de $du$, necesitamos encontrar la derivada de $u$. Por lo tanto, necesitamos calcular $du$, podemos hacerlo derivando la ecuación del paso anterior
Despejando $d\theta$ de la ecuación anterior
Sustituimos $u$ y $d\theta$ en la integral y luego simplificamos
Sacar el término constante $\frac{1}{2}$ de la integral
Multiplicar la fracción y el término en $2\cdot \left(\frac{1}{2}\right)\int\csc\left(u\right)du$
La integral de $\csc(x)$ es $-\ln(\cot(x)+\csc(x))$
Reemplazar $u$ por el valor que le fue asignado en la sustitución en un principio: $2\theta $
Simplificar $\csc\left(2\theta \right)+\cot\left(2\theta \right)$ usando identidades trigonométricas
Expresar la variable $\theta$ términos de la variable original $x$
Cualquier expresión algebraica multiplicada por uno es igual a esa misma expresión
Como la integral que estamos resolviendo es una integral indefinida, al terminar de integrar debemos añadir la constante de integración $C$
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