Calculadoras Pizarra + IA Hojas de Trabajo y Exámenes
Solucionarios
Álgebra de Baldor
Ir Premium Conceptos

Resolver la ecuación diferencial $\frac{dy}{dx}+\frac{-y}{x}=\frac{x}{3y}$

Solución Paso a paso

Go!
Modo simbólico
Modo texto
Go!
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0
a
b
c
d
f
g
m
n
u
v
w
x
y
z
.
(◻)
+
-
×
◻/◻
/
÷
◻2
◻◻
√◻
√

◻√◻
◻√
∞
e
π
ln
log
log◻
lim
d/dx
D□x
∫
∫◻
|◻|
θ
=
>
<
>=
<=
sin
cos
tan
cot
sec
csc

asin
acos
atan
acot
asec
acsc

sinh
cosh
tanh
coth
sech
csch

asinh
acosh
atanh
acoth
asech
acsch

Solución

Videos

Respuesta final al problema

$y=\sqrt{\frac{2}{3}\ln\left(x\right)+c_0}x,\:y=-\sqrt{\frac{2}{3}\ln\left(x\right)+c_0}x$
¿Tienes otra respuesta? Verifícala aquí!

Solución explicada paso por paso

¿Cómo debo resolver este problema?

  • Elige una opción
  • Ecuación Diferencial Exacta
  • Ecuación Diferencial Lineal
  • Ecuación Diferencial Separable
  • Ecuación Diferencial Homogénea
  • Integrar por fracciones parciales
  • Producto de Binomios con Término Común
  • Método FOIL
  • Integrar por cambio de variable
  • Integrar por partes
  • Cargar más...
¿No encuentras un método? Dinos para que podamos agregarlo.
1

Podemos reconocer que la ecuación diferencial $\frac{dy}{dx}+\frac{-y}{x}=\frac{x}{3y}$ es una ecuación diferencial de Bernoulli ya que se encuentra escrita de la forma $\frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)y^n$, donde $n$ es cualquier número real diferente de $0$ y $1$. Para resolver esta ecuación, podemos aplicar la siguiente sustitución. Definamos una nueva variable $u$ y asignémosle el siguiente valor

$u=y^{\left(1-n\right)}$
2

Reemplazamos el valor de $n$, que equivale a $-1$

$u=y^{\left(1+1\right)}$
3

Simplificar

$u=y^{2}$

Reorganizar la ecuación

$y^{2}=u$

Elevar ambos miembros de la ecuación al exponente $\frac{1}{2}$

$y=\sqrt{u}$
4

Despejamos la variable dependiente $y$

$y=\sqrt{u}$

Utilizamos la regla de diferenciación de potencias, la cual dice que si $n$ es un número real y si $f(x) = x^n$, entonces $f'(x) = nx^{n-1}$

$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{2}u^{-\frac{1}{2}}$
5

Derivar ambos lados de la ecuación con respecto a la variable independiente $x$

$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{2}u^{-\frac{1}{2}}\frac{du}{dx}$
6

Ahora, sustituimos $\frac{dy}{dx}=\frac{1}{2}u^{-\frac{1}{2}}\frac{du}{dx}$ y $y=\sqrt{u}$ en la ecuación diferencial original

$\frac{1}{2}u^{-\frac{1}{2}}\frac{du}{dx}+\frac{-\sqrt{u}}{x}=\frac{x}{3\sqrt{u}}$
7

Simplificar

$\frac{1}{2}u^{-\frac{1}{2}}\frac{du}{dx}+\frac{-\sqrt{u}}{x}=\frac{x}{3\sqrt{u}}$
8

Necesitamos cancelar el término que esta al frente de $\frac{du}{dx}$. Podemos hacerlo multiplicando toda la ecuación diferencial por $\frac{1}{2}\sqrt{u}$

$\left(\frac{1}{2}u^{-\frac{1}{2}}\frac{du}{dx}+\frac{-\sqrt{u}}{x}=\frac{x}{3\sqrt{u}}\right)\left(\frac{1}{2}\sqrt{u}\right)$
9

Multiplicar ambos lados por $\frac{1}{2}\sqrt{u}$

$\frac{1}{2}\sqrt{u}\left(\frac{1}{2}u^{-\frac{1}{2}}\frac{du}{dx}+\frac{-\sqrt{u}}{x}\right)=\frac{x}{3\sqrt{u}}\frac{1}{2}\sqrt{u}$

Multiplicando polinomios $\frac{1}{2}\sqrt{u}$ y $\frac{1}{2}u^{-\frac{1}{2}}\frac{du}{dx}+\frac{-\sqrt{u}}{x}$

$\frac{1}{4}\sqrt{u}u^{-\frac{1}{2}}\frac{du}{dx}+\frac{1}{2}\sqrt{u}\frac{-\sqrt{u}}{x}=\frac{1}{2}\frac{x}{3\sqrt{u}}\sqrt{u}$

Aplicando la propiedad de la potenciación, $\displaystyle a^{-n}=\frac{1}{a^n}$, donde $n$ es un número

$\frac{1}{4}\sqrt{u}\frac{1}{\sqrt{u}}\frac{du}{dx}+\frac{1}{2}\sqrt{u}\frac{-\sqrt{u}}{x}=\frac{1}{2}\frac{x}{3\sqrt{u}}\sqrt{u}$

Multiplicando fracciones $\frac{1}{4} \times \frac{1}{\sqrt{u}}$

$\frac{1}{4\sqrt{u}}\sqrt{u}\frac{du}{dx}+\frac{1}{2}\sqrt{u}\frac{-\sqrt{u}}{x}=\frac{1}{2}\frac{x}{3\sqrt{u}}\sqrt{u}$

Multiplicando fracciones $\frac{1}{2} \times \frac{-\sqrt{u}}{x}$

$\frac{1}{4\sqrt{u}}\sqrt{u}\frac{du}{dx}+\frac{-\sqrt{u}}{2x}\sqrt{u}=\frac{1}{2}\frac{x}{3\sqrt{u}}\sqrt{u}$

Multiplicando fracciones $\frac{x}{3\sqrt{u}} \times \frac{1}{2}$

$\frac{1}{4\sqrt{u}}\sqrt{u}\frac{du}{dx}+\frac{-\sqrt{u}}{2x}\sqrt{u}=\frac{x}{6\sqrt{u}}\sqrt{u}$

Multiplicando la fracción por el término $\sqrt{u}$

$\frac{1}{4\sqrt{u}}\sqrt{u}\frac{du}{dx}+\frac{-u}{2x}=\frac{x}{6\sqrt{u}}\sqrt{u}$

Multiplicar la fracción por el término

$\frac{1}{4}\frac{du}{dx}+\frac{-u}{2x}=\frac{x}{6\sqrt{u}}\sqrt{u}$

Multiplicando la fracción por el término $\sqrt{u}$

$\frac{1}{4}\frac{du}{dx}+\frac{-u}{2x}=\frac{x\sqrt{u}}{6\sqrt{u}}$

Simplificar la fracción $\frac{x\sqrt{u}}{6\sqrt{u}}$ por $u$

$\frac{1}{4}\frac{du}{dx}+\frac{-u}{2x}=\frac{xu^{\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\right)}}{6}$

Combinar las fracciones con denominador común $2$

$\frac{1}{4}\frac{du}{dx}+\frac{-u}{2x}=\frac{xu^{\frac{1-1}{2}}}{6}$

Sumar los valores $1$ y $-1$

$\frac{1}{4}\frac{du}{dx}+\frac{-u}{2x}=\frac{xu^{\frac{0}{2}}}{6}$

Dividir $0$ entre $2$

$\frac{1}{4}\frac{du}{dx}+\frac{-u}{2x}=\frac{xu^{0}}{6}$

Cualquier expresión matemática elevada a la potencia $0$ es igual a $1$

$\frac{1}{4}\frac{du}{dx}+\frac{-u}{2x}=\frac{x}{6}$
10

Expandir y simplificar. Ahora, vemos que la ecuación diferencial tiene la forma de una ecuación diferencial lineal, ya que hemos removido el término $y^{-1}$ que estaba multiplicando en la ecuación original

$\frac{1}{4}\frac{du}{dx}+\frac{-u}{2x}=\frac{x}{6}$

Dividir todos los términos de la ecuación entre $\frac{1}{4}$

$\frac{du}{dx}+\frac{\frac{-u}{2x}}{\frac{1}{4}}=\frac{\frac{x}{6}}{\frac{1}{4}}$

Dividir las fracciones $\frac{\frac{-u}{2x}}{\frac{1}{4}}$ multiplicando en cruz: $\frac{a}{b}\div c=\frac{a}{b}\div\frac{c}{1}=\frac{a}{b}\times\frac{1}{c}=\frac{a}{b\cdot c}$

$\frac{du}{dx}+\frac{-u}{\frac{1}{2}x}=\frac{\frac{x}{6}}{\frac{1}{4}}$

Dividir las fracciones $\frac{\frac{x}{6}}{\frac{1}{4}}$ multiplicando en cruz: $\frac{a}{b}\div c=\frac{a}{b}\div\frac{c}{1}=\frac{a}{b}\times\frac{1}{c}=\frac{a}{b\cdot c}$

$\frac{du}{dx}+\frac{-u}{\frac{1}{2}x}=\frac{x}{\frac{3}{2}}$

Dividir las fracciones $\frac{x}{\frac{3}{2}}$ multiplicando en cruz: $a\div \frac{b}{c}=\frac{a}{1}\div\frac{b}{c}=\frac{a}{1}\times\frac{c}{b}=\frac{a\cdot c}{b}$

$\frac{du}{dx}+\frac{-u}{\frac{1}{2}x}=\frac{2x}{3}$
11

Dividir todos los términos de la ecuación entre $\frac{1}{4}$

$\frac{du}{dx}+\frac{-u}{\frac{1}{2}x}=\frac{2x}{3}$
12

Podemos darnos cuenta de que la ecuación diferencial tiene la forma: $\frac{dy}{dx} + P(x)\cdot y(x) = Q(x)$, así que podemos clasificarla en una ecuación diferencial lineal de primer orden, donde $P(x)=\frac{-1}{\frac{1}{2}x}$ y $Q(x)=\frac{2x}{3}$. Para poder resolver esta ecuación diferencial, el primer paso es encontrar el factor integrante $\mu(x)$

$\displaystyle\mu\left(x\right)=e^{\int P(x)dx}$

Calcular la integral

$\int\frac{-1}{\frac{1}{2}x}dx$

Dividir las fracciones $\frac{-1}{\frac{1}{2}x}$ multiplicando en cruz: $a\div \frac{b}{c}=\frac{a}{1}\div\frac{b}{c}=\frac{a}{1}\times\frac{c}{b}=\frac{a\cdot c}{b}$

$\int\frac{-2}{x}dx$

La integral del inverso de la variable de integración está dada por la siguiente fórmula, $\displaystyle\int\frac{1}{x}dx=\ln(x)$

$-2\ln\left|x\right|$
13

Para encontrar $\mu(x)$, primero necesitamos calcular $\int P(x)dx$

$\int P(x)dx=\int\frac{-1}{\frac{1}{2}x}dx=-2\ln\left(x\right)$

Simplificar $e^{-2\ln\left|x\right|}$ aplicando las propiedades de los exponentes y logaritmos

$x^{-2}$
14

Asi que el factor integrante $\mu(x)$ es

$\mu(x)=x^{-2}$

Multiplicando la fracción por el término $x^{-2}$

$\frac{du}{dx}x^{-2}+\frac{-u}{\frac{1}{2}x}x^{-2}=\frac{2xx^{-2}}{3}$

Multiplicando la fracción por el término $4$

$16\left(\frac{du}{dx}\right)+\frac{-2u}{x}=\frac{4x}{6}$

Multiplicando la fracción por el término $4$

$16\left(\frac{du}{dx}\right)+\frac{- 4u}{2x}=4\left(\frac{x}{6}\right)$

Multiplicar $-1$ por $4$

$16\left(\frac{du}{dx}\right)+\frac{-4u}{2x}=4\left(\frac{x}{6}\right)$

Sacar el $\frac{-4}{2}$ de la fracción

$16\left(\frac{du}{dx}\right)+\frac{-2u}{x}=4\left(\frac{x}{6}\right)$

Sacar el $\frac{4}{6}$ de la fracción

$16\left(\frac{du}{dx}\right)+\frac{-2u}{x}=\frac{2}{3}x$

Al multiplicar potencias de igual base se suman los exponentes: $2xx^{-2}$

$\frac{du}{dx}x^{-2}+\frac{-u}{\frac{1}{2}x}x^{-2}=\frac{2x^{-2+1}}{3}$

Al multiplicar potencias de igual base se suman los exponentes: $2xx^{-2}$

$2x^{-2+1}$

Al multiplicar potencias de igual base se suman los exponentes: $2xx^{-2}$

$2x^{-2+1}$

Al multiplicar potencias de igual base se suman los exponentes: $2xx^{-2}$

$2x^{-2+1}$

Al multiplicar potencias de igual base se suman los exponentes: $2xx^{-2}$

$2x^{-2+1}$

Sumar los valores $-2$ y $1$

$2x^{-1}$

Sumar los valores $-2$ y $1$

$2x^{-1}$

Sumar los valores $-2$ y $1$

$2x^{-1}$

Sumar los valores $-2$ y $1$

$2x^{-1}$

Sumar los valores $-2$ y $1$

$\frac{du}{dx}x^{-2}+\frac{-u}{\frac{1}{2}x}x^{-2}=\frac{2x^{-1}}{3}$

Dividir las fracciones $\frac{-u}{\frac{1}{2}x}$ multiplicando en cruz: $a\div \frac{b}{c}=\frac{a}{1}\div\frac{b}{c}=\frac{a}{1}\times\frac{c}{b}=\frac{a\cdot c}{b}$

$\frac{- 2u}{x}x^{-2}$

Multiplicando la fracción por el término $x^{-2}$

$\frac{x^{-2}-2u}{x}$

Multiplicando la fracción por el término $x^{-2}$

$\frac{du}{dx}x^{-2}+\frac{-2ux^{-2}}{x}=\frac{2x^{-1}}{3}$

Multiplicando la fracción por el término $x^{-2}$

$\frac{x^{-2}- 2u}{x}$

Multiplicando la fracción por el término $x^{-2}$

$\frac{du}{dx}x^{-2}+\frac{-u}{\frac{1}{2}x}x^{-2}=\frac{2xx^{-2}}{3}$

Multiplicando la fracción por el término $4$

$16\left(\frac{du}{dx}\right)+\frac{-2u}{x}=\frac{4x}{6}$

Multiplicando la fracción por el término $4$

$16\left(\frac{du}{dx}\right)+\frac{- 4u}{2x}=4\left(\frac{x}{6}\right)$

Multiplicar $-1$ por $4$

$16\left(\frac{du}{dx}\right)+\frac{-4u}{2x}=4\left(\frac{x}{6}\right)$

Sacar el $\frac{-4}{2}$ de la fracción

$16\left(\frac{du}{dx}\right)+\frac{-2u}{x}=4\left(\frac{x}{6}\right)$

Sacar el $\frac{4}{6}$ de la fracción

$16\left(\frac{du}{dx}\right)+\frac{-2u}{x}=\frac{2}{3}x$

Multiplicar $-1$ por $2$

$\frac{x^{-2}-2u}{x}$

Simplificar la fracción $\frac{-2ux^{-2}}{x}$ por $x$

$\frac{du}{dx}x^{-2}-2ux^{-3}=\frac{2x^{-1}}{3}$
15

Ahora, multiplicamos todos los términos de la ecuación diferencial por el factor integrante $\mu(x)$ y verificamos si podemos simplificar

$\frac{du}{dx}x^{-2}-2ux^{-3}=\frac{2x^{-1}}{3}$
16

Podemos reconocer que el lado izquierdo de la ecuación diferencial consiste en la derivada del producto de $\mu(x)\cdot y(x)$

$\frac{d}{dx}\left(x^{-2}u\right)=\frac{2x^{-1}}{3}$
17

Integrar ambos lados de la ecuación diferencial con respecto a $dx$

$\int\frac{d}{dx}\left(x^{-2}u\right)dx=\int\frac{2x^{-1}}{3}dx$
18

Simplificar el lado izquierdo de la ecuación diferencial

$x^{-2}u=\int\frac{2x^{-1}}{3}dx$
19

Aplicando la propiedad de la potenciación, $\displaystyle a^{-n}=\frac{1}{a^n}$, donde $n$ es un número

$x^{-2}u=\int\frac{2}{3x^{1}}dx$
20

Cualquier expresión elevada a la potencia uno es igual a esa misma expresión

$x^{-2}u=\int\frac{2}{3x}dx$

Sacar el término constante $\frac{1}{3}$ de la integral

$\frac{1}{3}\int\frac{2}{x}dx$

La integral del inverso de la variable de integración está dada por la siguiente fórmula, $\displaystyle\int\frac{1}{x}dx=\ln(x)$

$2\left(\frac{1}{3}\right)\ln\left|x\right|$

Multiplicar la fracción y el término en $2\left(\frac{1}{3}\right)\ln\left|x\right|$

$\frac{2}{3}\ln\left|x\right|$

Como la integral que estamos resolviendo es una integral indefinida, al terminar de integrar debemos añadir la constante de integración $C$

$\frac{2}{3}\ln\left|x\right|+C_0$
21

Resolver la integral $\int\frac{2}{3x}dx$ y reemplazar el resultado en la ecuación diferencial

$x^{-2}u=\frac{2}{3}\ln\left|x\right|+C_0$
22

Reemplazar $u$ con el valor $y^{2}$

$x^{-2}y^{2}=\frac{2}{3}\ln\left(x\right)+C_0$

Aplicando la propiedad de la potenciación, $\displaystyle a^{-n}=\frac{1}{a^n}$, donde $n$ es un número

$\frac{1}{x^{\left|-2\right|}}y^{2}$

Multiplicando la fracción por el término $y^{2}$

$\frac{y^{2}}{x^{\left|-2\right|}}$
23

Aplicando la propiedad de la potenciación, $\displaystyle a^{-n}=\frac{1}{a^n}$, donde $n$ es un número

$\frac{1}{x^{2}}y^{2}=\frac{2}{3}\ln\left|x\right|+C_0$

Multiplicar la fracción por el término

$\frac{1y^{2}}{x^{2}}=\frac{2}{3}\ln\left(x\right)+C_0$

Cualquier expresión algebraica multiplicada por uno es igual a esa misma expresión

$\frac{y^{2}}{x^{2}}=\frac{2}{3}\ln\left|x\right|+C_0$
24

Multiplicar la fracción por el término

$\frac{y^{2}}{x^{2}}=\frac{2}{3}\ln\left|x\right|+C_0$

Aplicar la propiedad del cociente de dos potencias con mismo exponente, de manera inversa: $\frac{a^m}{b^m}=\left(\frac{a}{b}\right)^m$, donde $m$ vale $2$

$\left(\frac{y}{x}\right)^{2}=\frac{2}{3}\ln\left(x\right)+C_0$

Eliminando el exponente de la incógnita

$\sqrt{\left(\frac{y}{x}\right)^{2}}=\pm \sqrt{\frac{2}{3}\ln\left(x\right)+C_0}$

Cancelar exponentes $2$ y $1$

$\frac{y}{x}=\pm \sqrt{\frac{2}{3}\ln\left(x\right)+C_0}$

Como en la ecuación tenemos el signo $\pm$, esto nos produce dos ecuaciones idénticas que difieren en el signo del término $\sqrt{\frac{2}{3}\ln\left(x\right)+C_0}$. Escribimos y resolvemos ambas ecuaciones, una tomando el signo positivo, y la otra tomando el signo negativo

$\frac{y}{x}=\sqrt{\frac{2}{3}\ln\left(x\right)+C_0},\:\frac{y}{x}=-\sqrt{\frac{2}{3}\ln\left(x\right)+C_0}$

Resolver la ecuación ($1$)

$\frac{y}{x}=\sqrt{\frac{2}{3}\ln\left(x\right)+C_0}$

Multiplicar ambos miembros de la ecuación por $x$

$y=\sqrt{\frac{2}{3}\ln\left(x\right)+c_0}x$

Resolver la ecuación ($2$)

$\frac{y}{x}=-\sqrt{\frac{2}{3}\ln\left(x\right)+C_0}$

Multiplicar ambos miembros de la ecuación por $x$

$y=-\sqrt{\frac{2}{3}\ln\left(x\right)+c_0}x$

Combinando todas las soluciones, las $2$ soluciones de la ecuación son

$y=\sqrt{\frac{2}{3}\ln\left(x\right)+c_0}x,\:y=-\sqrt{\frac{2}{3}\ln\left(x\right)+c_0}x$
25

Encontrar la solución explícita a la ecuación diferencial. Necesitamos despejar la variable $y$

$y=\sqrt{\frac{2}{3}\ln\left(x\right)+c_0}x,\:y=-\sqrt{\frac{2}{3}\ln\left(x\right)+c_0}x$

Respuesta final al problema

$y=\sqrt{\frac{2}{3}\ln\left(x\right)+c_0}x,\:y=-\sqrt{\frac{2}{3}\ln\left(x\right)+c_0}x$

Explora distintas formas de resolver este problema

Resolver un ejercicio matemático utilizando diferentes métodos es importante porque mejora la comprensión, fomenta el pensamiento crítico, permite múltiples soluciones y desarrolla distintas estrategias de resolución de problemas. Leer más

¡Ayúdanos a mejorar con tu opinión!

Gráfico de la Función

Gráfico de: $\frac{dy}{dx}+\frac{-y}{x}+\frac{-x}{3y}$

SnapXam A2
Answer Assistant

beta
¿Tu respuesta es distinta? ¡Compruébala!

Go!
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0
a
b
c
d
f
g
m
n
u
v
w
x
y
z
.
(◻)
+
-
×
◻/◻
/
÷
◻2
◻◻
√◻
√

◻√◻
◻√
∞
e
π
ln
log
log◻
lim
d/dx
D□x
∫
∫◻
|◻|
θ
=
>
<
>=
<=
sin
cos
tan
cot
sec
csc

asin
acos
atan
acot
asec
acsc

sinh
cosh
tanh
coth
sech
csch

asinh
acosh
atanh
acoth
asech
acsch

Cómo mejorar tu respuesta:

Ejercicios Similares Resueltos

$x\frac{dy}{dx}-4y=x^6e^x$

$\left(x^2+1\right)\frac{dy}{dx}+3xy=6x$

$x\frac{dy}{dx}-2y=x^3cos\left(x\right)$

$\left(x+\frac{y}{x}\right)dx-dy=0$

$x\frac{dy}{dx}+2y=3$

$\cos\left(x\right)\frac{dy}{dx}+\sin\left(x\right)y=1$

$\frac{dy}{dx}cosx+ysenx=1$

Tema Principal: Ecuaciones Diferenciales

Una ecuación diferencial es una ecuación matemática que relaciona una función con sus derivadas.

Temas Relacionados

Potencia tu aprendizaje en matemáticas

Al crear mi cuenta, afirmo que he leído y acepto los Términos y Política de Privacidad de SnapXam.

¿Ya tienes cuenta? Ingresa aquí
¿Olvidaste tu contraseña?

Potencia tu aprendizaje en matemáticas



Regístrate aquí si no tienes una cuenta.
¿Olvidaste tu contraseña?

Tu Tutor Personal de Mates. Potenciado por IA

Disponible 24/7, 365.

Soluciones paso a paso completas. Sin anuncios.

Incluye múltiples métodos de resolución.

Descarga soluciones completas y guárdalas para siempre.

Practica sin límites con nuestro tablero inteligente.

Acceso premium en nuestras apps de iOS y Android.

Únete a 500k+ estudiantes en la resolución de problemas.

Escoge tu plan. Cancela cuando quieras.
Paga $39.97 USD de forma segura con tu método de pago.
Por favor espera mientras se procesa tu pago.
Crear una Cuenta