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Ejercicio

$\int\frac{1}{4sec\left(x\right)-1}dx$

Solución explicada paso por paso

1

Podemos resolver la integral $\int\frac{1}{4\sec\left(x\right)-1}dx$ aplicando el método de sustitución de Weierstrass (también conocido como sustitución universal ó sustitución de tangente del ángulo medio) el cual convierte una integral de funciones trigonométricas en una función racional de $t$ usando la sustitución

$t=\tan\left(\frac{x}{2}\right)$
2

Por lo tanto

$\sin x=\frac{2t}{1+t^{2}},\:\cos x=\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}},\:\mathrm{y}\:\:dx=\frac{2}{1+t^{2}}dt$
3

Sustituyendo en la integral original, obtenemos

$\int\frac{1}{4\left(\frac{1+t^{2}}{1-t^{2}}\right)-1}\frac{2}{1+t^{2}}dt$
4

Simplificando

$\int\frac{2\left(1-t^{2}\right)}{\left(4\left(1+t^{2}\right)-\left(1-t^{2}\right)\right)\left(1+t^{2}\right)}dt$
5

Sacar la constante $2$ del argumento de la integral

$2\int\frac{1-t^{2}}{\left(4\left(1+t^{2}\right)-\left(1-t^{2}\right)\right)\left(1+t^{2}\right)}dt$
6

Resolver el producto $4\left(1+t^{2}\right)$

$2\int\frac{1-t^{2}}{\left(4+4t^{2}-\left(1-t^{2}\right)\right)\left(1+t^{2}\right)}dt$
7

Resolver el producto $-\left(1-t^{2}\right)$

$2\int\frac{1-t^{2}}{\left(4+4t^{2}-1+t^{2}\right)\left(1+t^{2}\right)}dt$
8

Simplificamos la expresión

$2\int\frac{1-t^{2}}{\left(3+5t^{2}\right)\left(1+t^{2}\right)}dt$
9

Utilizar el método de descomposición en fracciones parciales para descomponer la fracción $\frac{1-t^{2}}{\left(3+5t^{2}\right)\left(1+t^{2}\right)}$ en $2$ fracciones más simples

$\frac{4}{3+5t^{2}}+\frac{-1}{1+t^{2}}$
10

Expandir la integral $\int\left(\frac{4}{3+5t^{2}}+\frac{-1}{1+t^{2}}\right)dt$ en $2$ integrales usando la regla de la integral de una suma de funciones, para luego resolver cada integral por separado

$2\int\frac{4}{3+5t^{2}}dt+2\int\frac{-1}{1+t^{2}}dt$
11

La integral $2\int\frac{4}{3+5t^{2}}dt$ da como resultado: $\frac{8\sqrt{\frac{3}{5}}\arctan\left(\sqrt{\frac{5}{3}}t\right)}{3}$

$\frac{8\sqrt{\frac{3}{5}}\arctan\left(\sqrt{\frac{5}{3}}t\right)}{3}$
12

La integral $2\int\frac{-1}{1+t^{2}}dt$ da como resultado: $-2\arctan\left(t\right)$

$-2\arctan\left(t\right)$
13

Después de juntar los resultados de todas las integrales individuales, obtenemos

$\frac{8\sqrt{\frac{3}{5}}\arctan\left(\sqrt{\frac{5}{3}}t\right)}{3}-2\arctan\left(t\right)$
14

Reemplazar $t$ por el valor que le fue asignado en la sustitución en un principio: $\tan\left(\frac{x}{2}\right)$

$\frac{8\sqrt{\frac{3}{5}}\arctan\left(\sqrt{\frac{5}{3}}\tan\left(\frac{x}{2}\right)\right)}{3}-2\arctan\left(\tan\left(\frac{x}{2}\right)\right)$
15

Simplificamos la expresión

$\frac{8\sqrt{\frac{3}{5}}\arctan\left(\sqrt{\frac{5}{3}}\tan\left(\frac{x}{2}\right)\right)}{3}-x$
16

Como la integral que estamos resolviendo es una integral indefinida, al terminar de integrar debemos añadir la constante de integración $C$

$\frac{8\sqrt{\frac{3}{5}}\arctan\left(\sqrt{\frac{5}{3}}\tan\left(\frac{x}{2}\right)\right)}{3}-x+C_0$

Respuesta final al problema

$\frac{8\sqrt{\frac{3}{5}}\arctan\left(\sqrt{\frac{5}{3}}\tan\left(\frac{x}{2}\right)\right)}{3}-x+C_0$

¿Cómo debo resolver este problema?

  • Elige una opción
  • Integrar por fracciones parciales
  • Integrar por cambio de variable
  • Integrar por partes
  • Integrar por método tabular
  • Integrar por sustitución trigonométrica
  • Integración por Sustitución de Weierstrass
  • Integrar usando identidades trigonométricas
  • Integrar usando integrales básicas
  • Producto de Binomios con Término Común
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Tema Principal: Integración por Sustitución de Weierstrass

En cálculo integral, la sustitución de Weierstrass o sustitución de medio ángulo tangente (también conocida como sustitución universal) es un método para la resolución de integrales, que convierte una expresión racional de funciones trigonométricas en una función racional algebraica, que puede ser más fácil de integrar. La sustitución de Weierstrass es muy útil para integrales que implican una expresión racional simple con seno y/o coseno en el denominador.

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asin
acos
atan
acot
asec
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sinh
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tanh
coth
sech
csch

asinh
acosh
atanh
acoth
asech
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