Solución Paso a paso

Evaluar el límite de $\frac{1-\cos\left(x\right)}{x^2}$ cuando $x$ tiende a 0

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ln
log
log
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d/dx
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>
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<=
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tan
cot
sec
csc

asin
acos
atan
acot
asec
acsc

sinh
cosh
tanh
coth
sech
csch

asinh
acosh
atanh
acoth
asech
acsch

Respuesta Final

$\frac{1}{2}$$\,\,\left(\approx 0.5\right)$

Solución explicada paso por paso

Problema a resolver:

$\lim_{x\to\:0}\left(\frac{1-\cos\left(x\right)}{x^2}\right)$

Elige el método de resolución

1

Si intentamos evaluar el límite directamente, resulta en forma indeterminada. Entonces necesitamos aplicar la regla de L'Hôpital

$\lim_{x\to0}\left(\frac{\frac{d}{dx}\left(1-\cos\left(x\right)\right)}{\frac{d}{dx}\left(x^2\right)}\right)$
2

Utilizamos la regla de diferenciación de potencias, la cual dice que si $n$ es un número real y si $f(x) = x^n$, entonces $f'(x) = nx^{n-1}$

$\lim_{x\to0}\left(\frac{\frac{d}{dx}\left(1-\cos\left(x\right)\right)}{2x}\right)$
3

La derivada de la suma de dos o más funciones equivale a la suma de la derivada de cada función por separado

$\lim_{x\to0}\left(\frac{\frac{d}{dx}\left(1\right)+\frac{d}{dx}\left(-\cos\left(x\right)\right)}{2x}\right)$
4

La derivada de la función constante ($1$) es igual a cero

$\lim_{x\to0}\left(\frac{\frac{d}{dx}\left(-\cos\left(x\right)\right)}{2x}\right)$
5

La derivada de una función multiplicada por una constante ($-1$) es igual a la constante por la derivada de la función

$\lim_{x\to0}\left(\frac{-\frac{d}{dx}\left(\cos\left(x\right)\right)}{2x}\right)$
6

La derivada del coseno de una función es igual a menos el seno de la función por la derivada de la función, es decir, si $f(x) = \cos(x)$, entonces $f'(x) = -\sin(x)\cdot D_x(x)$

$\lim_{x\to0}\left(\frac{\sin\left(x\right)}{2x}\right)$
7

Si intentamos evaluar el límite directamente, resulta en forma indeterminada. Entonces necesitamos aplicar la regla de L'Hôpital

$\lim_{x\to0}\left(\frac{\frac{d}{dx}\left(\sin\left(x\right)\right)}{\frac{d}{dx}\left(2x\right)}\right)$
8

La derivada de una función lineal multiplicada por una constante, es igual a la constante

$\lim_{x\to0}\left(\frac{\frac{d}{dx}\left(\sin\left(x\right)\right)}{2}\right)$
9

La derivada del seno de una función es igual al coseno de la función por la derivada de la función, en otras palabras, si ${f(x) = \sin(x)}$, entonces ${f'(x) = \cos(x)\cdot D_x(x)}$

$\lim_{x\to0}\left(\frac{\cos\left(x\right)}{2}\right)$
10

Si tenemos una constante dentro del límite que estamos calculando, podemos sacarla del límite: $\displaystyle \lim_{t\to 0}{\left(2t\right)}=2\cdot\lim_{t\to 0}{\left(t\right)}$

$\frac{1}{2}\lim_{x\to0}\left(\cos\left(x\right)\right)$
11

Evaluar el límite reemplazando todas las ocurrencias de $x$ por $0$

$\frac{1}{2}\cos\left(0\right)$
12

Simplificando

$\frac{1}{2}\cdot 1$
13

Multiplicar $\frac{1}{2}$ por $1$

$\frac{1}{2}$

Respuesta Final

$\frac{1}{2}$$\,\,\left(\approx 0.5\right)$
$\lim_{x\to\:0}\left(\frac{1-\cos\left(x\right)}{x^2}\right)$

Tema principal:

Límite de una función

Fórmulas relacionadas:

7. Ver fórmulas

Tiempo para resolverlo:

~ 0.06 s (SnapXam)