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Evaluar el límite de $\frac{1-\cos\left(x\right)}{x^2}$ cuando $x$ tiende a 0

Solución Paso a paso

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Respuesta final al problema

$\frac{1}{2}$
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Solución explicada paso por paso

¿Cómo debo resolver este problema?

  • Elige una opción
  • Resolver usando la regla de l'Hôpital
  • Resolver sin utilizar l'Hôpital
  • Resolver usando propiedades de los límites
  • Resolver haciendo sustitución directa
  • Resolver el límite usando factorización
  • Resolver el límite usando racionalización
  • Integrar por fracciones parciales
  • Producto de Binomios con Término Común
  • Método FOIL
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Si directamente evaluamos el límite $\lim_{x\to 0}\left(\frac{1-\cos\left(x\right)}{x^2}\right)$ cuando $x$ tiende a $0$, podemos ver que nos da como resultado una forma indeterminada

$\frac{0}{0}$
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Podemos resolver este límite aplicando la regla de L'Hôpital, la cual consiste en encontrar la derivada tanto del numerador como del denominador por separado

$\lim_{x\to 0}\left(\frac{\frac{d}{dx}\left(1-\cos\left(x\right)\right)}{\frac{d}{dx}\left(x^2\right)}\right)$
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Después de derivar tanto el numerador como el denominador, el límite resulta en

$\lim_{x\to0}\left(\frac{\sin\left(x\right)}{2x}\right)$
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Si directamente evaluamos el límite $\lim_{x\to 0}\left(\frac{\sin\left(x\right)}{2x}\right)$ cuando $x$ tiende a $0$, podemos ver que nos da como resultado una forma indeterminada

$\frac{0}{0}$
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Podemos resolver este límite aplicando la regla de L'Hôpital, la cual consiste en encontrar la derivada tanto del numerador como del denominador por separado

$\lim_{x\to 0}\left(\frac{\frac{d}{dx}\left(\sin\left(x\right)\right)}{\frac{d}{dx}\left(2x\right)}\right)$
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Después de derivar tanto el numerador como el denominador, el límite resulta en

$\lim_{x\to0}\left(\frac{\cos\left(x\right)}{2}\right)$
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Evaluar el límite reemplazando todas las ocurrencias de $\lim_{x\to0}\left(\frac{\cos\left(x\right)}0\right)$ por $x$

$\frac{\cos\left(0\right)}{2}$
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El coseno de $0$ es $1$

$\frac{1}{2}$
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Dividir $1$ entre $2$

$\frac{1}{2}$

Respuesta final al problema

$\frac{1}{2}$

Respuesta numérica exacta

$0.5$

Explora distintas formas de resolver este problema

Resolver un ejercicio matemático utilizando diferentes métodos es importante porque mejora la comprensión, fomenta el pensamiento crítico, permite múltiples soluciones y desarrolla distintas estrategias de resolución de problemas. Leer más

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Gráfico de la Función

Gráfico de: $\frac{1-\cos\left(x\right)}{x^2}$

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