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Calcular el límite $\lim_{x\to0}\left(\frac{1-\cos\left(x\right)}{x^2}\right)$

Solución Paso a paso

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Respuesta Final

$\frac{1}{2}$
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Solución explicada paso por paso

Especifica el método de resolución

Insertar el valor $0$ en el límite

$\frac{1-\cos\left(0\right)}{0^2}$

El coseno de $0$ es $1$

$\frac{1-1}{0^2}$

Restar los valores $1$ y $-1$

$\frac{0}{0^2}$

Calcular la potencia $0^2$

$\frac{0}{0}$
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Si directamente evaluamos el límite $\lim_{x\to 0}\left(\frac{1-\cos\left(x\right)}{x^2}\right)$ cuando $x$ tiende a $0$, podemos ver que nos da como resultado una forma indeterminada

$\frac{0}{0}$
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Podemos resolver este límite aplicando la regla de L'Hôpital, la cual consiste en encontrar la derivada tanto del numerador como del denominador por separado

$\lim_{x\to 0}\left(\frac{\frac{d}{dx}\left(1-\cos\left(x\right)\right)}{\frac{d}{dx}\left(x^2\right)}\right)$

Encontrar la derivada del numerador

$\frac{d}{dx}\left(1-\cos\left(x\right)\right)$

La derivada de la suma de dos o más funciones equivale a la suma de las derivadas de cada función por separado

$\frac{d}{dx}\left(1\right)+\frac{d}{dx}\left(-\cos\left(x\right)\right)$

La derivada de la función constante ($1$) es igual a cero

$\frac{d}{dx}\left(-\cos\left(x\right)\right)$

La derivada de una función multiplicada por una constante ($-1$) es igual a la constante por la derivada de la función

$-\frac{d}{dx}\left(\cos\left(x\right)\right)$

La derivada del coseno de una función es igual a menos el seno de la función por la derivada de la función, es decir, si $f(x) = \cos(x)$, entonces $f'(x) = -\sin(x)\cdot D_x(x)$

$1\sin\left(x\right)$

Cualquier expresión algebraica multiplicada por uno es igual a esa misma expresión

$\sin\left(x\right)$

Encontrar la derivada del denominador

$\frac{d}{dx}\left(x^2\right)$

Utilizamos la regla de diferenciación de potencias, la cual dice que si $n$ es un número real y si $f(x) = x^n$, entonces $f'(x) = nx^{n-1}$

$2x$
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Después de derivar tanto el numerador como el denominador, el límite resulta en

$\lim_{x\to0}\left(\frac{\sin\left(x\right)}{2x}\right)$

Insertar el valor $0$ en el límite

$\frac{\sin\left(0\right)}{2\cdot 0}$

El seno de $0$ es $0$

$\frac{0}{2\cdot 0}$

Multiplicar $2$ por $0$

$\frac{0}{0}$
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Si directamente evaluamos el límite $\lim_{x\to 0}\left(\frac{\sin\left(x\right)}{2x}\right)$ cuando $x$ tiende a $0$, podemos ver que nos da como resultado una forma indeterminada

$\frac{0}{0}$
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Podemos resolver este límite aplicando la regla de L'Hôpital, la cual consiste en encontrar la derivada tanto del numerador como del denominador por separado

$\lim_{x\to 0}\left(\frac{\frac{d}{dx}\left(\sin\left(x\right)\right)}{\frac{d}{dx}\left(2x\right)}\right)$

Encontrar la derivada del numerador

$\frac{d}{dx}\left(\sin\left(x\right)\right)$

La derivada del seno de una función es igual al coseno de la función por la derivada de la función, en otras palabras, si ${f(x) = \sin(x)}$, entonces ${f'(x) = \cos(x)\cdot D_x(x)}$

$\cos\left(x\right)$

Encontrar la derivada del denominador

$\frac{d}{dx}\left(2x\right)$

La derivada de una función lineal multiplicada por una constante, es igual a la constante

$2\frac{d}{dx}\left(x\right)$

Utilizando la regla de diferenciación de potencias, la derivada de la función lineal es igual a $1$

$2$
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Después de derivar tanto el numerador como el denominador, el límite resulta en

$\lim_{x\to0}\left(\frac{\cos\left(x\right)}{2}\right)$
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Evaluar el límite reemplazando todas las ocurrencias de $\lim_{x\to0}\left(\frac{\cos\left(x\right)}0\right)$ por $x$

$\frac{\cos\left(0\right)}{2}$
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El coseno de $0$ es $1$

$\frac{1}{2}$
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Dividir $1$ entre $2$

$\frac{1}{2}$

Respuesta Final

$\frac{1}{2}$

Respuesta numérica exacta

$0.5$

Explora distintas formas de resolver este problema

Resolver un ejercicio matemático utilizando diferentes métodos es importante porque mejora la comprensión, fomenta el pensamiento crítico, permite múltiples soluciones y desarrolla distintas estrategias de resolución de problemas. Leer más

Límites por Sustitución DirectaLímites por regla de l'HôpitalLímites por factorizaciónLímites por racionalización

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Gráfico de la Función

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Tema Principal: Límites por Sustitución Directa

Encontrar el límite de funciones en un punto específico al reemplazar directamente el valor en la función.

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