Respuesta Final
Solución explicada paso por paso
Problema a resolver:
Método de resolución
Simplificar $2\sin\left(x\right)\cos\left(x\right)$
Cancelar el factor común $2$ de la fracción
Aplicando la identidad de la cosecante: $\displaystyle\csc\left(\theta\right)=\frac{1}{\sin\left(\theta\right)}$
Simplificando
Podemos resolver la integral $\int\csc\left(2x\right)dx$ aplicando el método de integración por sustitución o cambio de variable. Primero, debemos identificar una sección dentro de la integral con una nueva variable (llamémosla $u$), que al ser sustituida, haga la expresión dentro de la integral más sencilla. Podemos ver que $2x$ es un buen candidato para ser sustituido. A continuación, definamos la variable $u$ y asignémosle el candidato
Derivar ambos lados de la ecuación $u=2x$
Encontrar la derivada
La derivada de una función lineal multiplicada por una constante, es igual a la constante
Ahora, para poder reescribir $dx$ en términos de $du$, necesitamos encontrar la derivada de $u$. Por lo tanto, necesitamos calcular $du$, podemos hacerlo derivando la ecuación del paso anterior
Despejando $dx$ de la ecuación anterior
Sustituimos $u$ y $dx$ en la integral y luego simplificamos
Dividir $1$ entre $2$
Sacar el término constante $\frac{1}{2}$ de la integral
Multiplicar $\frac{1}{2}$ por $-1$
La integral de $\csc(x)$ es $-\ln(\cot(x)+\csc(x))$
Reemplazar $u$ por el valor que le fue asignado en la sustitución en un principio: $2x$
Aplicando la identidad de la cosecante: $\displaystyle\csc\left(\theta\right)=\frac{1}{\sin\left(\theta\right)}$
Aplicar la identidad trigonométrica: $\cot(x)=\frac{\cos(x)}{\sin(x)}$
Sumar los numeradores de las fracciones con denominadores comunes: $\frac{1}{\sin\left(2x\right)}$ y $\frac{\cos\left(2x\right)}{\sin\left(2x\right)}$
Simplificar $1+\cos\left(2x\right)$ en $2\cos\left(x\right)^2$ aplicando identidades trigonométricas
Aplicando la identidad del seno de doble ángulo: $\sin\left(2\theta\right)=2\sin\left(\theta\right)\cos\left(\theta\right)$
Simplificar la fracción por $\cos\left(x\right)$
Aplicamos la identidad trigonométrica: $\frac{\cos\left(x\right)}{\sin\left(x\right)}$$=\cot\left(x\right)$
Simplificar $\csc\left(2x\right)+\cot\left(2x\right)$ usando identidades trigonométricas
Como la integral que estamos resolviendo es una integral indefinida, al terminar de integrar debemos añadir la constante de integración $C$
