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Calcular la integral trigonométrica $\int\frac{1}{2\sin\left(x\right)\cos\left(x\right)}dx$

Solución Paso a paso

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Respuesta final al problema

$-\frac{1}{2}\ln\left|\cot\left(x\right)\right|+C_0$
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Solución explicada paso por paso

¿Cómo debo resolver este problema?

  • Integrar por cambio de variable
  • Integrar por fracciones parciales
  • Integrar por partes
  • Integrar por método tabular
  • Integrar por sustitución trigonométrica
  • Integración por Sustitución de Weierstrass
  • Integrar usando identidades trigonométricas
  • Integrar usando integrales básicas
  • Producto de Binomios con Término Común
  • Método FOIL
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Simplificamos la expresión

$\int\csc\left(2x\right)dx$
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Podemos resolver la integral $\int\csc\left(2x\right)dx$ aplicando el método de integración por sustitución o cambio de variable. Primero, debemos identificar una sección dentro de la integral con una nueva variable (llamémosla $u$), que al ser sustituida, haga la expresión dentro de la integral más sencilla. Podemos ver que $2x$ es un buen candidato para ser sustituido. A continuación, definamos la variable $u$ y asignémosle el candidato

$u=2x$
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Ahora, para poder reescribir $dx$ en términos de $du$, necesitamos encontrar la derivada de $u$. Por lo tanto, necesitamos calcular $du$, podemos hacerlo derivando la ecuación del paso anterior

$du=2dx$
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Despejando $dx$ de la ecuación anterior

$du=2dx$
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Sustituimos $u$ y $dx$ en la integral y luego simplificamos

$\int\frac{\csc\left(u\right)}{2}du$
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Sacar el término constante $\frac{1}{2}$ de la integral

$\frac{1}{2}\int\csc\left(u\right)du$
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La integral de $\csc(x)$ es $-\ln(\cot(x)+\csc(x))$

$\left(\frac{1}{2}\right)\left(-1\right)\ln\left|\csc\left(u\right)+\cot\left(u\right)\right|$
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Multiplicar la fracción y el término en $\left(\frac{1}{2}\right)\left(-1\right)\ln\left|\csc\left(u\right)+\cot\left(u\right)\right|$

$-\frac{1}{2}\ln\left|\csc\left(u\right)+\cot\left(u\right)\right|$
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Reemplazar $u$ por el valor que le fue asignado en la sustitución en un principio: $2x$

$-\frac{1}{2}\ln\left|\csc\left(2x\right)+\cot\left(2x\right)\right|$
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Simplificar $\csc\left(2x\right)+\cot\left(2x\right)$ usando identidades trigonométricas

$-\frac{1}{2}\ln\left|\cot\left(x\right)\right|$
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Como la integral que estamos resolviendo es una integral indefinida, al terminar de integrar debemos añadir la constante de integración $C$

$-\frac{1}{2}\ln\left|\cot\left(x\right)\right|+C_0$

Respuesta final al problema

$-\frac{1}{2}\ln\left|\cot\left(x\right)\right|+C_0$

Explora distintas formas de resolver este problema

Resolver un ejercicio matemático utilizando diferentes métodos es importante porque mejora la comprensión, fomenta el pensamiento crítico, permite múltiples soluciones y desarrolla distintas estrategias de resolución de problemas. Leer más

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Gráfico de la Función

Gráfico de: $-\frac{1}{2}\ln\left|\cot\left(x\right)\right|+C_0$

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Cómo mejorar tu respuesta:

Tema Principal: Cálculo Integral

La integración es un concepto fundamental del cálculo y del análisis matemático. Básicamente, una integral es una generalización de la suma de infinitos sumandos, infinitamente pequeños.

Fórmulas Usadas

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