Solución Paso a paso

Calcular la integral trigonométrica $\int\frac{1}{2\sin\left(x\right)\cos\left(x\right)}dx$

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Respuesta Final

$-\frac{1}{2}\ln\left(\cot\left(x\right)\right)+C_0$
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Solución explicada paso por paso

Problema a resolver:

$\int\frac{1}{2sin\left(x\right)cos\left(x\right)}dx$

Método de resolución

Simplificar $2\sin\left(x\right)\cos\left(x\right)$

$\int\frac{2}{2\sin\left(2x\right)}dx$

Cancelar el factor común $2$ de la fracción

$\int\frac{1}{\sin\left(2x\right)}dx$

Aplicando la identidad de la cosecante: $\displaystyle\csc\left(\theta\right)=\frac{1}{\sin\left(\theta\right)}$

$\int\csc\left(2x\right)dx$
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Simplificando

$\int\csc\left(2x\right)dx$
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Podemos resolver la integral $\int\csc\left(2x\right)dx$ aplicando el método de integración por sustitución o cambio de variable. Primero, debemos identificar una sección dentro de la integral con una nueva variable (llamémosla $u$), que al ser sustituida, haga la expresión dentro de la integral más sencilla. Podemos ver que $2x$ es un buen candidato para ser sustituido. A continuación, definamos la variable $u$ y asignémosle el candidato

$u=2x$

Derivar ambos lados de la ecuación $u=2x$

$du=\frac{d}{dx}\left(2x\right)$

Encontrar la derivada

$\frac{d}{dx}\left(2x\right)$

La derivada de una función lineal multiplicada por una constante, es igual a la constante

$2$
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Ahora, para poder reescribir $dx$ en términos de $du$, necesitamos encontrar la derivada de $u$. Por lo tanto, necesitamos calcular $du$, podemos hacerlo derivando la ecuación del paso anterior

$du=2dx$
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Despejando $dx$ de la ecuación anterior

$\frac{du}{2}=dx$
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Sustituimos $u$ y $dx$ en la integral y luego simplificamos

$\int\frac{\csc\left(u\right)}{2}du$

$\frac{1}{2}\int\csc\left(u\right)du$

Dividir $1$ entre $2$

$\frac{1}{2}\int\csc\left(u\right)du$
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Sacar el término constante $\frac{1}{2}$ de la integral

$\frac{1}{2}\int\csc\left(u\right)du$

$\frac{1}{2}\left(-1\right)\ln\left(\csc\left(u\right)+\cot\left(u\right)\right)$

Multiplicar $\frac{1}{2}$ por $-1$

$-\frac{1}{2}\ln\left(\csc\left(u\right)+\cot\left(u\right)\right)$
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La integral de $\csc(x)$ es $-\ln(\cot(x)+\csc(x))$

$-\frac{1}{2}\ln\left(\csc\left(u\right)+\cot\left(u\right)\right)$

$-\frac{1}{2}\ln\left(\csc\left(2x\right)+\cot\left(2x\right)\right)$
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Reemplazar $u$ por el valor que le fue asignado en la sustitución en un principio: $2x$

$-\frac{1}{2}\ln\left(\csc\left(2x\right)+\cot\left(2x\right)\right)$

Aplicando la identidad de la cosecante: $\displaystyle\csc\left(\theta\right)=\frac{1}{\sin\left(\theta\right)}$

$-\frac{1}{2}\ln\left(\frac{1}{\sin\left(2x\right)}+\cot\left(2x\right)\right)$

Aplicar la identidad trigonométrica: $\cot(x)=\frac{\cos(x)}{\sin(x)}$

$-\frac{1}{2}\ln\left(\frac{1}{\sin\left(2x\right)}+\frac{\cos\left(2x\right)}{\sin\left(2x\right)}\right)$

Sumar los numeradores de las fracciones con denominadores comunes: $\frac{1}{\sin\left(2x\right)}$ y $\frac{\cos\left(2x\right)}{\sin\left(2x\right)}$

$-\frac{1}{2}\ln\left(\frac{1+\cos\left(2x\right)}{\sin\left(2x\right)}\right)$

Simplificar $1+\cos\left(2x\right)$ en $2\cos\left(x\right)^2$ aplicando identidades trigonométricas

$-\frac{1}{2}\ln\left(\frac{2\cos\left(x\right)^2}{\sin\left(2x\right)}\right)$

Aplicando la identidad del seno de doble ángulo: $\sin\left(2\theta\right)=2\sin\left(\theta\right)\cos\left(\theta\right)$

$-\frac{1}{2}\ln\left(\frac{\cos\left(x\right)^2}{\sin\left(x\right)\cos\left(x\right)}\right)$

Simplificar la fracción por $\cos\left(x\right)$

$-\frac{1}{2}\ln\left(\frac{\cos\left(x\right)}{\sin\left(x\right)}\right)$

Aplicamos la identidad trigonométrica: $\frac{\cos\left(x\right)}{\sin\left(x\right)}$$=\cot\left(x\right)$

$-\frac{1}{2}\ln\left(\cot\left(x\right)\right)$
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Simplificar $\csc\left(2x\right)+\cot\left(2x\right)$ usando identidades trigonométricas

$-\frac{1}{2}\ln\left(\cot\left(x\right)\right)$
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Como la integral que estamos resolviendo es una integral indefinida, al terminar de integrar debemos añadir la constante de integración $C$

$-\frac{1}{2}\ln\left(\cot\left(x\right)\right)+C_0$

Respuesta Final

$-\frac{1}{2}\ln\left(\cot\left(x\right)\right)+C_0$
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Tips para mejorar tu respuesta:

$\int\frac{1}{2sin\left(x\right)cos\left(x\right)}dx$

Tema principal:

Integrales Trigonométricas

Fórmulas Relacionadas:

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Tiempo para resolverlo:

~ 0.11 s