Respuesta Final
Solución explicada paso por paso
Problema a resolver:
Método de resolución
Podemos resolver la integral $\int\frac{1}{2\sin\left(x\right)\cos\left(x\right)}dx$ aplicando el método de integración por sustitución o cambio de variable. Primero, debemos identificar una sección dentro de la integral con una nueva variable (llamémosla $u$), que al ser sustituida, haga la expresión dentro de la integral más sencilla. Podemos ver que $\sin\left(x\right)$ es un buen candidato para ser sustituido. A continuación, definamos la variable $u$ y asignémosle el candidato
Derivar ambos lados de la ecuación $u=\sin\left(x\right)$
Encontrar la derivada
La derivada del seno de una función es igual al coseno de la función por la derivada de la función, en otras palabras, si ${f(x) = \sin(x)}$, entonces ${f'(x) = \cos(x)\cdot D_x(x)}$
Ahora, para poder reescribir $dx$ en términos de $du$, necesitamos encontrar la derivada de $u$. Por lo tanto, necesitamos calcular $du$, podemos hacerlo derivando la ecuación del paso anterior
Despejando $dx$ de la ecuación anterior
Aplicar la inversa de $\sin\left(x\right)$ a ambos lados de la ecuación
Aplicamos la regla: $\arcsin\left(\sin\left(x\right)\right)$$=x$
Reescribir $x$ en términos de $u$
Dividir las fracciones $\frac{\frac{1}{2u\cos\left(x\right)}}{\cos\left(x\right)}$ multiplicando en cruz: $\frac{a}{b}\div c=\frac{a}{b}\div\frac{c}{1}=\frac{a}{b}\times\frac{1}{c}=\frac{a}{b\cdot c}$
Reescribir $x$ en términos de $\arcsin\left(u\right)$
Simplificar $\cos\left(\arcsin\left(u\right)\right)$ en $\sqrt{1-u^2}$
Resolver el producto $2u\left(1-u^2\right)$
Resolver el producto $u\left(2-2u^2\right)$
Factorizando por el máximo común divisor $2$
Sacar el término constante $\frac{1}{2}$ de la integral
Sustituimos $u$, $dx$ y $x$ en la integral y luego simplificamos
Factoizar el polinomio $u-u^{3}$ por su GCF: $u$
Calcular la potencia $\sqrt{1}$
Cualquier expresión algebraica multiplicada por uno es igual a esa misma expresión
Factorizar la diferencia de cuadrados $\left(1-u^2\right)$ como el producto de dos binomios conjugados
Utilizar el método de descomposición en fracciones parciales para descomponer la fracción $\frac{1}{u\left(1+u\right)\left(1-u\right)}$ en $3$ fracciones más simples
Necesitamos encontrar los valores de los coeficientes $A, B, C$ para que se cumpla la igualdad. El primer paso es deshacernos del denominador multiplicando ambos lados de la ecuación del paso anterior por $u\left(1+u\right)\left(1-u\right)$
Multiplicando polinomios
Simplificando
Expandir el polinomio
Asignando valores a $u$ obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones
Procedemos a resolver el sistema de ecuaciones lineales
Reescribimos los coeficientes en forma de matriz
Reducimos la matriz original a una matriz identidad utilizando el método de eliminación de Gauss-Jordan
La integral de $\frac{1}{u\left(1+u\right)\left(1-u\right)}$ en forma descompuesta equivale a
Expandir la integral $\int\left(\frac{1}{u}+\frac{-\frac{1}{2}}{1+u}+\frac{\frac{1}{2}}{1-u}\right)du$
Podemos resolver la integral $\int\frac{-\frac{1}{2}}{1+u}du$ aplicando el método de integración por sustitución o cambio de variable. Primero, debemos identificar una sección dentro de la integral con una nueva variable (llamémosla $v$), que al ser sustituida, haga la expresión dentro de la integral más sencilla. Podemos ver que $1+u$ es un buen candidato para ser sustituido. A continuación, definamos la variable $v$ y asignémosle el candidato
Derivar ambos lados de la ecuación $v=1+u$
Encontrar la derivada
La derivada de la suma de dos o más funciones equivale a la suma de las derivadas de cada función por separado
La derivada de la función constante ($1$) es igual a cero
Utilizando la regla de diferenciación de potencias, la derivada de la función lineal es $1$
Ahora, para poder reescribir $du$ en términos de $dv$, necesitamos encontrar la derivada de $v$. Por lo tanto, necesitamos calcular $dv$, podemos hacerlo derivando la ecuación del paso anterior
Sustituimos $v$ y $du$ en la integral y luego simplificamos
La integral del inverso de la variable de integración está dada por la siguiente fórmula, $\displaystyle\int\frac{1}{x}dx=\ln(x)$
La integral $\frac{1}{2}\int\frac{1}{u}du$ da como resultado: $\frac{1}{2}\ln\left|u\right|$
La integral del inverso de la variable de integración está dada por la siguiente fórmula, $\displaystyle\int\frac{1}{x}dx=\ln(x)$
Reemplazar $v$ por el valor que le fue asignado en la sustitución en un principio: $1+u$
Reemplazar $u$ por el valor que le fue asignado en la sustitución en un principio: $\sin\left(x\right)$
La integral $\frac{1}{2}\int\frac{-\frac{1}{2}}{v}dv$ da como resultado: $-\frac{1}{4}\ln\left|1+\sin\left(x\right)\right|$
Aplicamos la regla: $\int\frac{n}{ax+b}dx$$=\frac{n}{a}\ln\left|ax+b\right|$, donde $a=-1$, $b=1$, $x=u$ y $n=\frac{1}{2}$
La integral $\frac{1}{2}\int\frac{\frac{1}{2}}{1-u}du$ da como resultado: $-\frac{1}{4}\ln\left|-u+1\right|$
Después de juntar los resultados de todas las integrales individuales, obtenemos
Reemplazar $u$ por el valor que le fue asignado en la sustitución en un principio: $\sin\left(x\right)$
Como la integral que estamos resolviendo es una integral indefinida, al terminar de integrar debemos añadir la constante de integración $C$