Respuesta Final
Solución explicada paso por paso
Problema a resolver:
Elige el método de resolución
Dividir $1$ entre $2$
Sacar el término constante $\frac{1}{2}$ de la integral
Multiplicando la fracción por el término $\sec\left(x\right)$
Aplicando la identidad trigonométrica: $\displaystyle\sec\left(\theta\right)=\frac{1}{\cos\left(\theta\right)}$
Podemos resolver la integral $\int\frac{\sec\left(x\right)}{\sin\left(x\right)}dx$ aplicando el método de integración por sustitución o cambio de variable. Primero, debemos identificar una sección dentro de la integral con una nueva variable (llamémosla $u$), que al ser sustituida, haga la expresión dentro de la integral más sencilla. Podemos ver que $\tan\left(x\right)$ es un buen candidato para ser sustituido. A continuación, definamos la variable $u$ y asignémosle el candidato
Derivar ambos lados de la ecuación $u=\tan\left(x\right)$
Encontrar la derivada
La derivada de la tangente es igual al cuadrado de la secante de la función por la derivada de la función, en otras palabras, si ${f(x) = tan(x)}$, entonces ${f'(x) = sec^2(x)\cdot D_x(x)}$
Utilizando la regla de diferenciación de potencias, la derivada de la función lineal es $1$
Ahora, para poder reescribir $dx$ en términos de $du$, necesitamos encontrar la derivada de $u$. Por lo tanto, necesitamos calcular $du$, podemos hacerlo derivando la ecuación del paso anterior
Despejando $dx$ de la ecuación anterior
Dividir las fracciones $\frac{\frac{\sec\left(x\right)}{\sin\left(x\right)}}{\sec\left(x\right)^2}$ multiplicando en cruz: $\frac{a}{b}\div c=\frac{a}{b}\div\frac{c}{1}=\frac{a}{b}\times\frac{1}{c}=\frac{a}{b\cdot c}$
Simplificar la fracción por $\sec\left(x\right)$
Haciendo uso de la identidad trigonométrica: $\displaystyle\frac{1}{\sec(\theta)}=\cos(\theta)$
Aplicamos la identidad trigonométrica: $\frac{\cos\left(x\right)}{\sin\left(x\right)}$$=\cot\left(x\right)$
Como la sustitución original fue $u=\tan\left(x\right)$, podemos sustituir el inverso de $tan$, el cual es $cot$, por $\frac{1}{u}$
Sustituimos $u$ y $dx$ en la integral y luego simplificamos
Multiplicar $\frac{1}{2}$ por $1$
La integral del inverso de la variable de integración está dada por la siguiente fórmula, $\displaystyle\int\frac{1}{x}dx=\ln(x)$
Reemplazar $u$ por el valor que le fue asignado en la sustitución en un principio: $\tan\left(x\right)$
Como la integral que estamos resolviendo es una integral indefinida, al terminar de integrar debemos añadir la constante de integración $C$