Solución Paso a paso

Calcular la integral trigonométrica $\int\frac{1}{2\sin\left(x\right)\cos\left(x\right)}dx$

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×
◻/◻
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π
ln
log
log
lim
d/dx
Dx
|◻|
=
>
<
>=
<=
sin
cos
tan
cot
sec
csc

asin
acos
atan
acot
asec
acsc

sinh
cosh
tanh
coth
sech
csch

asinh
acosh
atanh
acoth
asech
acsch

Respuesta Final

$\frac{1}{2}\ln\left|\sin\left(x\right)\right|-\frac{1}{4}\ln\left|1+\sin\left(x\right)\right|-\frac{1}{4}\ln\left|-\sin\left(x\right)+1\right|+C_0$

Solución explicada paso por paso

Problema a resolver:

$\int\frac{1}{2sin\left(x\right)cos\left(x\right)}dx$

Método de resolución

1

Podemos resolver la integral $\int\frac{1}{2\sin\left(x\right)\cos\left(x\right)}dx$ aplicando el método de integración por sustitución o cambio de variable. Primero, debemos identificar una sección dentro de la integral con una nueva variable (llamémosla $u$), que al ser sustituida, haga la expresión dentro de la integral más sencilla. Podemos ver que $\sin\left(x\right)$ es un buen candidato para ser sustituido. A continuación, definamos la variable $u$ y asignémosle el candidato

$u=\sin\left(x\right)$

Derivar ambos lados de la ecuación $u=\sin\left(x\right)$

$du=\frac{d}{dx}\left(\sin\left(x\right)\right)$

Encontrar la derivada

$\frac{d}{dx}\left(\sin\left(x\right)\right)$

La derivada del seno de una función es igual al coseno de la función por la derivada de la función, en otras palabras, si ${f(x) = \sin(x)}$, entonces ${f'(x) = \cos(x)\cdot D_x(x)}$

$\cos\left(x\right)$
2

Ahora, para poder reescribir $dx$ en términos de $du$, necesitamos encontrar la derivada de $u$. Por lo tanto, necesitamos calcular $du$, podemos hacerlo derivando la ecuación del paso anterior

$du=\cos\left(x\right)dx$
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Despejando $dx$ de la ecuación anterior

$\frac{du}{\cos\left(x\right)}=dx$

Aplicar la inversa de $\sin\left(x\right)$ a ambos lados de la ecuación

$\arcsin\left(\sin\left(x\right)\right)=\arcsin\left(u\right)$

Aplicamos la regla: $\arcsin\left(\sin\left(x\right)\right)$$=x$

$x=\arcsin\left(u\right)$
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Reescribir $x$ en términos de $u$

$x=\arcsin\left(u\right)$

Dividir las fracciones $\frac{\frac{1}{2u\cos\left(x\right)}}{\cos\left(x\right)}$ multiplicando en cruz: $\frac{a}{b}\div c=\frac{a}{b}\div\frac{c}{1}=\frac{a}{b}\times\frac{1}{c}=\frac{a}{b\cdot c}$

$\int\frac{1}{2u\cos\left(x\right)^2}du$

Reescribir $x$ en términos de $\arcsin\left(u\right)$

$\int\frac{1}{2u\cos\left(\arcsin\left(u\right)\right)^2}du$

Simplificar $\cos\left(\arcsin\left(u\right)\right)$ en $\sqrt{1-u^2}$

$\int\frac{1}{2u\left(1-u^2\right)}du$

Resolver el producto $2u\left(1-u^2\right)$

$\int\frac{1}{u\left(2-2u^2\right)}du$

Resolver el producto $u\left(2-2u^2\right)$

$\int\frac{1}{2u-2u^{3}}du$

Factorizando por el máximo común divisor $2$

$\int\frac{1}{2\left(u-u^{3}\right)}du$

Sacar el término constante $\frac{1}{2}$ de la integral

$\frac{1}{2}\int\frac{1}{u-u^{3}}du$
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Sustituimos $u$, $dx$ y $x$ en la integral y luego simplificamos

$\frac{1}{2}\int\frac{1}{u-u^{3}}du$
6

Factoizar el polinomio $u-u^{3}$ por su GCF: $u$

$\frac{1}{2}\int\frac{1}{u\left(1-u^2\right)}du$

Calcular la potencia $\sqrt{1}$

$\frac{1}{2}\int\frac{1}{u\left(1+\sqrt{1u^2}\right)\left(\sqrt{1}-\sqrt{1u^2}\right)}du$

Cualquier expresión algebraica multiplicada por uno es igual a esa misma expresión

$\frac{1}{2}\int\frac{1}{u\left(1+u\right)\left(1-u\right)}du$
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Factorizar la diferencia de cuadrados $\left(1-u^2\right)$ como el producto de dos binomios conjugados

$\frac{1}{2}\int\frac{1}{u\left(1+u\right)\left(1-u\right)}du$
8

Utilizar el método de descomposición en fracciones parciales para descomponer la fracción $\frac{1}{u\left(1+u\right)\left(1-u\right)}$ en $3$ fracciones más simples

$\frac{1}{u\left(1+u\right)\left(1-u\right)}=\frac{A}{u}+\frac{B}{1+u}+\frac{C}{1-u}$
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Necesitamos encontrar los valores de los coeficientes $A, B, C$ para que se cumpla la igualdad. El primer paso es deshacernos del denominador multiplicando ambos lados de la ecuación del paso anterior por $u\left(1+u\right)\left(1-u\right)$

$1=u\left(1+u\right)\left(1-u\right)\left(\frac{A}{u}+\frac{B}{1+u}+\frac{C}{1-u}\right)$
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Multiplicando polinomios

$1=\frac{uA\left(1+u\right)\left(1-u\right)}{u}+\frac{uB\left(1+u\right)\left(1-u\right)}{1+u}+\frac{uC\left(1+u\right)\left(1-u\right)}{1-u}$
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Simplificando

$1=A\left(1+u\right)\left(1-u\right)+uB\left(1-u\right)+uC\left(1+u\right)$
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Expandir el polinomio

$1=A+Au-uA-u^2A+Bu-Bu^2+Cu+Cu^2$
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Asignando valores a $u$ obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones

$\begin{matrix}1=A&\:\:\:\:\:\:\:(u=0) \\ 1=-2B&\:\:\:\:\:\:\:(u=-1) \\ 1=2C&\:\:\:\:\:\:\:(u=1)\end{matrix}$
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Procedemos a resolver el sistema de ecuaciones lineales

$\begin{matrix}1A & + & 0B & + & 0C & =1 \\ 0A & - & 2B & + & 0C & =1 \\ 0A & + & 0B & + & 2C & =1\end{matrix}$
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Reescribimos los coeficientes en forma de matriz

$\left(\begin{matrix}1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & -2 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 1\end{matrix}\right)$
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Reducimos la matriz original a una matriz identidad utilizando el método de eliminación de Gauss-Jordan

$\left(\begin{matrix}1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & -\frac{1}{2} \\ 0 & 0 & 1 & \frac{1}{2}\end{matrix}\right)$
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La integral de $\frac{1}{u\left(1+u\right)\left(1-u\right)}$ en forma descompuesta equivale a

$\frac{1}{2}\int\left(\frac{1}{u}+\frac{-\frac{1}{2}}{1+u}+\frac{\frac{1}{2}}{1-u}\right)du$
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Expandir la integral $\int\left(\frac{1}{u}+\frac{-\frac{1}{2}}{1+u}+\frac{\frac{1}{2}}{1-u}\right)du$

$\frac{1}{2}\int\frac{1}{u}du+\frac{1}{2}\int\frac{-\frac{1}{2}}{1+u}du+\frac{1}{2}\int\frac{\frac{1}{2}}{1-u}du$
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Podemos resolver la integral $\int\frac{-\frac{1}{2}}{1+u}du$ aplicando el método de integración por sustitución o cambio de variable. Primero, debemos identificar una sección dentro de la integral con una nueva variable (llamémosla $v$), que al ser sustituida, haga la expresión dentro de la integral más sencilla. Podemos ver que $1+u$ es un buen candidato para ser sustituido. A continuación, definamos la variable $v$ y asignémosle el candidato

$v=1+u$

Derivar ambos lados de la ecuación $v=1+u$

$dv=\frac{d}{du}\left(1+u\right)$

Encontrar la derivada

$\frac{d}{du}\left(1+u\right)$

La derivada de la suma de dos o más funciones equivale a la suma de las derivadas de cada función por separado

$\frac{d}{du}\left(1\right)+\frac{d}{du}\left(u\right)$

La derivada de la función constante ($1$) es igual a cero

$\frac{d}{du}\left(u\right)$

Utilizando la regla de diferenciación de potencias, la derivada de la función lineal es $1$

$1$
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Ahora, para poder reescribir $du$ en términos de $dv$, necesitamos encontrar la derivada de $v$. Por lo tanto, necesitamos calcular $dv$, podemos hacerlo derivando la ecuación del paso anterior

$dv=du$
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Sustituimos $v$ y $du$ en la integral y luego simplificamos

$\frac{1}{2}\int\frac{1}{u}du+\frac{1}{2}\int\frac{-\frac{1}{2}}{v}dv+\frac{1}{2}\int\frac{\frac{1}{2}}{1-u}du$

La integral del inverso de la variable de integración está dada por la siguiente fórmula, $\displaystyle\int\frac{1}{x}dx=\ln(x)$

$\frac{1}{2}\ln\left|u\right|$
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La integral $\frac{1}{2}\int\frac{1}{u}du$ da como resultado: $\frac{1}{2}\ln\left|u\right|$

$\frac{1}{2}\ln\left|u\right|$

La integral del inverso de la variable de integración está dada por la siguiente fórmula, $\displaystyle\int\frac{1}{x}dx=\ln(x)$

$-\frac{1}{4}\ln\left|v\right|$

Reemplazar $v$ por el valor que le fue asignado en la sustitución en un principio: $1+u$

$-\frac{1}{4}\ln\left|1+u\right|$

Reemplazar $u$ por el valor que le fue asignado en la sustitución en un principio: $\sin\left(x\right)$

$-\frac{1}{4}\ln\left|1+\sin\left(x\right)\right|$
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La integral $\frac{1}{2}\int\frac{-\frac{1}{2}}{v}dv$ da como resultado: $-\frac{1}{4}\ln\left|1+\sin\left(x\right)\right|$

$-\frac{1}{4}\ln\left|1+\sin\left(x\right)\right|$

Aplicamos la regla: $\int\frac{n}{ax+b}dx$$=\frac{n}{a}\ln\left|ax+b\right|$, donde $a=-1$, $b=1$, $x=u$ y $n=\frac{1}{2}$

$-\frac{1}{4}\ln\left|-u+1\right|$
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La integral $\frac{1}{2}\int\frac{\frac{1}{2}}{1-u}du$ da como resultado: $-\frac{1}{4}\ln\left|-u+1\right|$

$-\frac{1}{4}\ln\left|-u+1\right|$
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Después de juntar los resultados de todas las integrales individuales, obtenemos

$\frac{1}{2}\ln\left|u\right|-\frac{1}{4}\ln\left|1+\sin\left(x\right)\right|-\frac{1}{4}\ln\left|-u+1\right|$

$\frac{1}{2}\ln\left|\sin\left(x\right)\right|-\frac{1}{4}\ln\left|1+\sin\left(x\right)\right|-\frac{1}{4}\ln\left|-\sin\left(x\right)+1\right|$
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Reemplazar $u$ por el valor que le fue asignado en la sustitución en un principio: $\sin\left(x\right)$

$\frac{1}{2}\ln\left|\sin\left(x\right)\right|-\frac{1}{4}\ln\left|1+\sin\left(x\right)\right|-\frac{1}{4}\ln\left|-\sin\left(x\right)+1\right|$
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Como la integral que estamos resolviendo es una integral indefinida, al terminar de integrar debemos añadir la constante de integración $C$

$\frac{1}{2}\ln\left|\sin\left(x\right)\right|-\frac{1}{4}\ln\left|1+\sin\left(x\right)\right|-\frac{1}{4}\ln\left|-\sin\left(x\right)+1\right|+C_0$

Respuesta Final

$\frac{1}{2}\ln\left|\sin\left(x\right)\right|-\frac{1}{4}\ln\left|1+\sin\left(x\right)\right|-\frac{1}{4}\ln\left|-\sin\left(x\right)+1\right|+C_0$