Solución Paso a paso

Calcular la integral trigonométrica $\int\frac{1}{2\sin\left(x\right)\cos\left(x\right)}dx$

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(◻)
+
-
×
◻/◻
/
÷
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e
π
ln
log
log
lim
d/dx
Dx
|◻|
=
>
<
>=
<=
sin
cos
tan
cot
sec
csc

asin
acos
atan
acot
asec
acsc

sinh
cosh
tanh
coth
sech
csch

asinh
acosh
atanh
acoth
asech
acsch

Respuesta Final

$\frac{1}{2}\ln\left|\tan\left(x\right)\right|+C_0$

Solución explicada paso por paso

Problema a resolver:

$\int\frac{1}{2sin\left(x\right)cos\left(x\right)}dx$

Elige el método de resolución

$\frac{1}{2}\int\frac{1}{\sin\left(x\right)\cos\left(x\right)}dx$

Dividir $1$ entre $2$

$\frac{1}{2}\int\frac{1}{\sin\left(x\right)\cos\left(x\right)}dx$
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Sacar el término constante $\frac{1}{2}$ de la integral

$\frac{1}{2}\int\frac{1}{\sin\left(x\right)\cos\left(x\right)}dx$

$\frac{1}{2}\int\frac{1}{\sin\left(x\right)}\sec\left(x\right)dx$

Multiplicando la fracción por el término $\sec\left(x\right)$

$\frac{1}{2}\int\frac{\sec\left(x\right)}{\sin\left(x\right)}dx$
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Aplicando la identidad trigonométrica: $\displaystyle\sec\left(\theta\right)=\frac{1}{\cos\left(\theta\right)}$

$\frac{1}{2}\int\frac{\sec\left(x\right)}{\sin\left(x\right)}dx$
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Podemos resolver la integral $\int\frac{\sec\left(x\right)}{\sin\left(x\right)}dx$ aplicando el método de integración por sustitución o cambio de variable. Primero, debemos identificar una sección dentro de la integral con una nueva variable (llamémosla $u$), que al ser sustituida, haga la expresión dentro de la integral más sencilla. Podemos ver que $\tan\left(x\right)$ es un buen candidato para ser sustituido. A continuación, definamos la variable $u$ y asignémosle el candidato

$u=\tan\left(x\right)$

Derivar ambos lados de la ecuación $u=\tan\left(x\right)$

$du=\frac{d}{dx}\left(\tan\left(x\right)\right)$

Encontrar la derivada

$\frac{d}{dx}\left(\tan\left(x\right)\right)$

La derivada de la tangente es igual al cuadrado de la secante de la función por la derivada de la función, en otras palabras, si ${f(x) = tan(x)}$, entonces ${f'(x) = sec^2(x)\cdot D_x(x)}$

$\sec\left(x\right)^2\frac{d}{dx}\left(x\right)$

Utilizando la regla de diferenciación de potencias, la derivada de la función lineal es $1$

$\sec\left(x\right)^2$
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Ahora, para poder reescribir $dx$ en términos de $du$, necesitamos encontrar la derivada de $u$. Por lo tanto, necesitamos calcular $du$, podemos hacerlo derivando la ecuación del paso anterior

$du=\sec\left(x\right)^2dx$
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Despejando $dx$ de la ecuación anterior

$\frac{du}{\sec\left(x\right)^2}=dx$

Dividir las fracciones $\frac{\frac{\sec\left(x\right)}{\sin\left(x\right)}}{\sec\left(x\right)^2}$ multiplicando en cruz: $\frac{a}{b}\div c=\frac{a}{b}\div\frac{c}{1}=\frac{a}{b}\times\frac{1}{c}=\frac{a}{b\cdot c}$

$\int\frac{\sec\left(x\right)}{\sin\left(x\right)\sec\left(x\right)^2}du$

Simplificar la fracción por $\sec\left(x\right)$

$\int\frac{1}{\sin\left(x\right)\sec\left(x\right)}du$

Haciendo uso de la identidad trigonométrica: $\displaystyle\frac{1}{\sec(\theta)}=\cos(\theta)$

$\int\frac{\cos\left(x\right)}{\sin\left(x\right)}du$

Aplicamos la identidad trigonométrica: $\frac{\cos\left(x\right)}{\sin\left(x\right)}$$=\cot\left(x\right)$

$\int\cot\left(x\right)du$

Como la sustitución original fue $u=\tan\left(x\right)$, podemos sustituir el inverso de $tan$, el cual es $cot$, por $\frac{1}{u}$

$\int\frac{1}{u}du$
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Sustituimos $u$ y $dx$ en la integral y luego simplificamos

$\frac{1}{2}\int\frac{1}{u}du$

$\frac{1}{2}\cdot 1\ln\left|u\right|$

Multiplicar $\frac{1}{2}$ por $1$

$\frac{1}{2}\ln\left|u\right|$
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La integral del inverso de la variable de integración está dada por la siguiente fórmula, $\displaystyle\int\frac{1}{x}dx=\ln(x)$

$\frac{1}{2}\ln\left|u\right|$

$\frac{1}{2}\ln\left|\tan\left(x\right)\right|$
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Reemplazar $u$ por el valor que le fue asignado en la sustitución en un principio: $\tan\left(x\right)$

$\frac{1}{2}\ln\left|\tan\left(x\right)\right|$
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Como la integral que estamos resolviendo es una integral indefinida, al terminar de integrar debemos añadir la constante de integración $C$

$\frac{1}{2}\ln\left|\tan\left(x\right)\right|+C_0$

Respuesta Final

$\frac{1}{2}\ln\left|\tan\left(x\right)\right|+C_0$
$\int\frac{1}{2sin\left(x\right)cos\left(x\right)}dx$

Tema principal:

Integrales Trigonométricas

Tiempo para resolverlo:

~ 0.35 s (SnapXam)