Conceptos

Más herramientas de IA de SnapXam

Ejercicio

$\int\frac{1}{2sin\left(x\right)cos\left(x\right)}dx$

Solución explicada paso por paso

1

Podemos resolver la integral $\int\frac{1}{2\sin\left(x\right)\cos\left(x\right)}dx$ aplicando el método de sustitución de Weierstrass (también conocido como sustitución universal ó sustitución de tangente del ángulo medio) el cual convierte una integral de funciones trigonométricas en una función racional de $t$ usando la sustitución

$t=\tan\left(\frac{x}{2}\right)$
2

Por lo tanto

$\sin x=\frac{2t}{1+t^{2}},\:\cos x=\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}},\:\mathrm{y}\:\:dx=\frac{2}{1+t^{2}}dt$
3

Sustituyendo en la integral original, obtenemos

$\int\frac{1}{2\left(\frac{2t}{1+t^{2}}\right)\left(\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}}\right)}\frac{2}{1+t^{2}}dt$
4

Simplificando

$\int\frac{1+t^{2}}{2\left(1-t^{2}\right)t}dt$
5

Sacar el término constante $\frac{1}{2}$ de la integral

$\frac{1}{2}\int\frac{1+t^{2}}{\left(1-t^{2}\right)t}dt$
6

Utilizar el método de descomposición en fracciones parciales para descomponer la fracción $\frac{1+t^{2}}{\left(1-t^{2}\right)t}$ en $2$ fracciones más simples

$\frac{2t}{1-t^{2}}+\frac{1}{t}$
7

Simplificamos la expresión

$\int\frac{t}{1-t^{2}}dt+\frac{1}{2}\int\frac{1}{t}dt$
8

Podemos resolver la integral $\int\frac{t}{1-t^{2}}dt$ aplicando el método de integración por sustitución o cambio de variable. Primero, debemos identificar una sección dentro de la integral con una nueva variable (llamémosla $u$), que al ser sustituida, haga la expresión dentro de la integral más sencilla. Podemos ver que $1-t^{2}$ es un buen candidato para ser sustituido. A continuación, definamos la variable $u$ y asignémosle el candidato

Crea diagramas como éste con el generador de diagramas
$u=1-t^{2}$
9

Ahora, para poder reescribir $dt$ en términos de $du$, necesitamos encontrar la derivada de $u$. Por lo tanto, necesitamos calcular $du$, podemos hacerlo derivando la ecuación del paso anterior

$du=-2tdt$
10

Despejando $dt$ de la ecuación anterior

$\frac{du}{-2t}=dt$
11

Sustituimos $u$ y $dt$ en la integral y luego simplificamos

$-\frac{1}{2}\int\frac{1}{u}du+\frac{1}{2}\int\frac{1}{t}dt$
12

La integral $-\frac{1}{2}\int\frac{1}{u}du$ da como resultado: $-\frac{1}{2}\ln\left(1-t^{2}\right)$

$-\frac{1}{2}\ln\left(1-t^{2}\right)$
13

La integral $\frac{1}{2}\int\frac{1}{t}dt$ da como resultado: $\frac{1}{2}\ln\left(t\right)$

$\frac{1}{2}\ln\left(t\right)$
14

Después de juntar los resultados de todas las integrales individuales, obtenemos

$-\frac{1}{2}\ln\left|1-t^{2}\right|+\frac{1}{2}\ln\left|t\right|$
15

Reemplazar $t$ por el valor que le fue asignado en la sustitución en un principio: $\tan\left(\frac{x}{2}\right)$

$-\frac{1}{2}\ln\left|1-\tan\left(\frac{x}{2}\right)^{2}\right|+\frac{1}{2}\ln\left|\tan\left(\frac{x}{2}\right)\right|$
16

Como la integral que estamos resolviendo es una integral indefinida, al terminar de integrar debemos añadir la constante de integración $C$

$-\frac{1}{2}\ln\left|1-\tan\left(\frac{x}{2}\right)^{2}\right|+\frac{1}{2}\ln\left|\tan\left(\frac{x}{2}\right)\right|+C_0$

Respuesta final al problema

$-\frac{1}{2}\ln\left|1-\tan\left(\frac{x}{2}\right)^{2}\right|+\frac{1}{2}\ln\left|\tan\left(\frac{x}{2}\right)\right|+C_0$

¿Cómo debo resolver este problema?

  • Integración por Sustitución de Weierstrass
  • Integrar por fracciones parciales
  • Integrar por cambio de variable
  • Integrar por partes
  • Integrar por método tabular
  • Integrar por sustitución trigonométrica
  • Integrar usando identidades trigonométricas
  • Integrar usando integrales básicas
  • Producto de Binomios con Término Común
  • Método FOIL
  • Cargar más...
¿No encuentras un método? Dinos para que podamos agregarlo.

Otros ejercicios resueltos

$\sqrt{x^1-1}-x$

$4x^4\left(2+x^2-3x\right)$

$\sqrt{25\cdot36}$

$\frac{1}{25-sin^2x}$

$25x^2-5x+.25$

$\left(-9-2\right)\:-\:\left(-8+6\right)\:$

$7a+9b+6a-4b-9a+18c$
Modo simbólico
Modo texto
Go!
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0
a
b
c
d
f
g
m
n
u
v
w
x
y
z
.
(◻)
+
-
×
◻/◻
/
÷
◻2
◻◻
√◻
√

◻√◻
◻√
∞
e
π
ln
log
log◻
lim
d/dx
D□x
∫
∫◻
|◻|
θ
=
>
<
>=
<=
sin
cos
tan
cot
sec
csc

asin
acos
atan
acot
asec
acsc

sinh
cosh
tanh
coth
sech
csch

asinh
acosh
atanh
acoth
asech
acsch

Empoderando a estudiantes y profesores mediante la IA

Al crear mi cuenta, afirmo que he leído y acepto los Términos y Política de Privacidad de SnapXam.

¿Ya tienes cuenta? Ingresa aquí
¿Olvidaste tu contraseña?

Empoderando a estudiantes y profesores mediante la IA



Regístrate aquí si no tienes una cuenta.
¿Olvidaste tu contraseña?

Tu Tutor Personal de Mates. Potenciado por IA

Disponible 24/7, los 365 días del año.

Soluciones paso a paso completas. Sin anuncios.

Accede a explicaciones profundas con diagramas.

Incluye múltiples métodos de resolución.

Descarga soluciones ilimitadas en formato PDF.

Acceso premium en nuestras apps de iOS y Android.

Únete a 1M+ estudiantes en la resolución de problemas.

Elige el plan que más te convenga:
Paga $39.97 USD de forma segura con tu método de pago.
Por favor espera mientras se procesa tu pago.
Crear una Cuenta