Respuesta final al problema
Solución explicada paso por paso
¿Cómo debo resolver este problema?
- Integración por Sustitución de Weierstrass
- Integrar por fracciones parciales
- Integrar por cambio de variable
- Integrar por partes
- Integrar por método tabular
- Integrar por sustitución trigonométrica
- Integrar usando identidades trigonométricas
- Integrar usando integrales básicas
- Producto de Binomios con Término Común
- Método FOIL
- Cargar más...
Podemos resolver la integral $\int\frac{1}{2\sin\left(x\right)\cos\left(x\right)}dx$ aplicando el método de sustitución de Weierstrass (también conocido como sustitución universal ó sustitución de tangente del ángulo medio) el cual convierte una integral de funciones trigonométricas en una función racional de $t$ usando la sustitución
Por lo tanto
Sustituyendo en la integral original, obtenemos
Multiplicando fracciones $\frac{1}{2\left(\frac{2t}{1+t^{2}}\right)\left(\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}}\right)} \times \frac{2}{1+t^{2}}$
Dividir las fracciones $\frac{2}{2\left(\frac{2t}{1+t^{2}}\right)\left(\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}}\right)\left(1+t^{2}\right)}$ multiplicando en cruz: $a\div \frac{b}{c}=\frac{a}{1}\div\frac{b}{c}=\frac{a}{1}\times\frac{c}{b}=\frac{a\cdot c}{b}$
Sacar el $\frac{2}{2}$ de la fracción
Multiplicando la fracción por el término $2t\left(1+t^{2}\right)$
Simplificando
Sacar el término constante $\frac{1}{2}$ de la integral
Utilizar el método de descomposición en fracciones parciales para descomponer la fracción $\frac{1+t^{2}}{\left(1-t^{2}\right)t}$ en $2$ fracciones más simples
Necesitamos encontrar los valores de los coeficientes $A, B, C$ para que se cumpla la igualdad. El primer paso es deshacernos del denominador multiplicando ambos lados de la ecuación del paso anterior por $\left(1-t^{2}\right)t$
Multiplicando polinomios
Simplificando
Asignando valores a $t$ obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones
Procedemos a resolver el sistema de ecuaciones lineales
Reescribimos los coeficientes en forma de matriz
Reducimos la matriz original a una matriz identidad utilizando el método de eliminación de Gauss-Jordan
La integral de $\frac{1+t^{2}}{\left(1-t^{2}\right)t}$ en forma descompuesta equivale a
Utilizar el método de descomposición en fracciones parciales para descomponer la fracción $\frac{1+t^{2}}{\left(1-t^{2}\right)t}$ en $2$ fracciones más simples
Expandir la integral $\int\left(\frac{2t}{1-t^{2}}+\frac{1}{t}\right)dt$ en $2$ integrales usando la regla de la integral de una suma de funciones, para luego resolver cada integral por separado
Sacar la parte constante ($2$) de la integral
Multiplicar la fracción y el término en $2\left(\frac{1}{2}\right)\int\frac{t}{1-t^{2}}dt$
Simplificamos la expresión
Podemos resolver la integral $\int\frac{t}{1-t^{2}}dt$ aplicando el método de integración por sustitución o cambio de variable. Primero, debemos identificar una sección dentro de la integral con una nueva variable (llamémosla $u$), que al ser sustituida, haga la expresión dentro de la integral más sencilla. Podemos ver que $1-t^{2}$ es un buen candidato para ser sustituido. A continuación, definamos la variable $u$ y asignémosle el candidato
Derivar ambos lados de la ecuación $u=1-t^{2}$
Encontrar la derivada
La derivada de la suma de dos o más funciones equivale a la suma de las derivadas de cada función por separado
La derivada de una función multiplicada por una constante es igual a la constante por la derivada de la función
Utilizamos la regla de diferenciación de potencias, la cual dice que si $n$ es un número real y si $f(x) = x^n$, entonces $f'(x) = nx^{n-1}$
Ahora, para poder reescribir $dt$ en términos de $du$, necesitamos encontrar la derivada de $u$. Por lo tanto, necesitamos calcular $du$, podemos hacerlo derivando la ecuación del paso anterior
Despejando $dt$ de la ecuación anterior
Simplificar la fracción $\frac{\frac{t}{u}}{-2t}$ por $t$
Sacar el término constante $\frac{1}{-2}$ de la integral
Sustituimos $u$ y $dt$ en la integral y luego simplificamos
La integral del inverso de la variable de integración está dada por la siguiente fórmula, $\displaystyle\int\frac{1}{x}dx=\ln(x)$
Reemplazar $u$ por el valor que le fue asignado en la sustitución en un principio: $1-t^{2}$
La integral $-\frac{1}{2}\int\frac{1}{u}du$ da como resultado: $-\frac{1}{2}\ln\left(1-t^{2}\right)$
La integral del inverso de la variable de integración está dada por la siguiente fórmula, $\displaystyle\int\frac{1}{x}dx=\ln(x)$
La integral $\frac{1}{2}\int\frac{1}{t}dt$ da como resultado: $\frac{1}{2}\ln\left(t\right)$
Después de juntar los resultados de todas las integrales individuales, obtenemos
Reemplazar $t$ por el valor que le fue asignado en la sustitución en un principio: $\tan\left(\frac{x}{2}\right)$
Como la integral que estamos resolviendo es una integral indefinida, al terminar de integrar debemos añadir la constante de integración $C$
