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Calcular la integral trigonométrica $\int\frac{1}{2\sin\left(x\right)\cos\left(x\right)}dx$

Solución Paso a paso

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Respuesta Final

$\frac{1}{2}\ln\left(\tan\left(\frac{x}{2}\right)\right)-\frac{1}{2}\ln\left(1-\tan\left(\frac{x}{2}\right)^2\right)+C_0$
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Solución explicada paso por paso

Problema a resolver:

$\int\frac{1}{2sin\left(x\right)cos\left(x\right)}dx$

Elige el método de resolución

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Podemos resolver la integral $\int\frac{1}{2\sin\left(x\right)\cos\left(x\right)}dx$ aplicando el método de sustitución de Weierstrass (también conocido como sustitución universal ó sustitución de tangente del ángulo medio) el cual convierte una integral de funciones trigonométricas en una función racional de $t$ usando la sustitución

$t=\tan\left(\frac{x}{2}\right)$
2

Por lo tanto

$\sin x=\frac{2t}{1+t^{2}},\:\cos x=\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}},\:\mathrm{y}\:\:dx=\frac{2}{1+t^{2}}dt$
3

Sustituyendo en la integral original, obtenemos

$\int\frac{1}{2\left(\frac{2t}{1+t^{2}}\right)\left(\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}}\right)}\frac{2}{1+t^{2}}dt$

Multiplicando fracciones $\frac{2t}{1+t^{2}} \times \frac{1-t^{2}}{1+t^{2}}$

$\int\frac{1}{2\left(\frac{2t\left(1-t^{2}\right)}{\left(1+t^{2}\right)^2}\right)}\frac{2}{1+t^{2}}dt$

Multiplicando la fracción por el término $2$

$\int\frac{1}{\frac{4t\left(1-t^{2}\right)}{\left(1+t^{2}\right)^2}}\frac{2}{1+t^{2}}dt$

Dividir las fracciones $\frac{1}{\frac{4t\left(1-t^{2}\right)}{\left(1+t^{2}\right)^2}}$ multiplicando en cruz: $a\div \frac{b}{c}=\frac{a}{1}\div\frac{b}{c}=\frac{a}{1}\times\frac{c}{b}=\frac{a\cdot c}{b}$

$\int\frac{\left(1+t^{2}\right)^2}{4t\left(1-t^{2}\right)}\frac{2}{1+t^{2}}dt$

Un binomio al cuadrado (resta) es igual al cuadrado del primer término, menos el doble producto del primero por el segundo, más el cuadrado del segundo término. En otras palabras: $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$

  • Cuadrado del primer término: $\left(1\right)^2 = 1^2$
  • Dos veces el primero por el segundo: $2\left(1\right)\left(t^{2}\right) = 2\cdot 1t^{2}$
  • Cuadrado del segundo término: $\left(t^{2}\right)^2 = \left(t^{2}\right)^2$

$\int\frac{1+2t^{2}+t^{4}}{4t-4t^{3}}\frac{2}{1+t^{2}}dt$

Multiplicando fracciones $\frac{1+2t^{2}+t^{4}}{4t-4t^{3}} \times \frac{2}{1+t^{2}}$

$\int\frac{2\left(1+2t^{2}+t^{4}\right)}{\left(4t-4t^{3}\right)\left(1+t^{2}\right)}dt$
4

Simplificando

$\int\frac{2\left(1+2t^{2}+t^{4}\right)}{\left(4t-4t^{3}\right)\left(1+t^{2}\right)}dt$
5

Sacar la constante $2$ del argumento de la integral

$2\int\frac{1+2t^{2}+t^{4}}{\left(4t-4t^{3}\right)\left(1+t^{2}\right)}dt$

El trinomio $1+2t^{2}+t^{4}$ es un trinomio cuadrado perfecto, ya que su discriminante es igual a cero

$\Delta=b^2-4ac=2^2-4\left(1\right)\left(1\right) = 0$

Utilizamos la relación del trinomio cuadrado perfecto

$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2,\:donde\:a=\sqrt{t^{4}}\:y\:b=\sqrt{1}$

Factorizamos el trinomio cuadrado perfecto

$\frac{\left(t^{2}+1\right)^{2}}{\left(4t-4t^{3}\right)\left(1+t^{2}\right)}$

Simplificar la fracción $\frac{\left(t^{2}+1\right)^{2}}{\left(4t-4t^{3}\right)\left(1+t^{2}\right)}$ por $1+t^{2}$

$\frac{\left(1+t^{2}\right)^{\left(2-1\right)}}{1\left(4t-4t^{3}\right)}$

Restar los valores $2$ y $-1$

$\frac{\left(1+t^{2}\right)^{1}}{1\left(4t-4t^{3}\right)}$

Cualquier expresión elevada a la potencia uno es igual a esa misma expresión

$\frac{1+t^{2}}{1\left(4t-4t^{3}\right)}$

Cualquier expresión algebraica multiplicada por uno es igual a esa misma expresión

$\frac{1+t^{2}}{4t-4t^{3}}$

Factoizar el polinomio $4t-4t^{3}$ por su GCF: $4t$

$\frac{1+t^{2}}{4t\left(1-t^2\right)}$
6

Reescribir la expresión $\frac{1+2t^{2}+t^{4}}{\left(4t-4t^{3}\right)\left(1+t^{2}\right)}$ que está dentro de la integral en forma factorizada

$2\int\frac{1+t^{2}}{4t\left(1-t^2\right)}dt$

Sacar el término constante $\frac{1}{4}$ de la integral

$2\left(\frac{1}{4}\right)\int\frac{1+t^{2}}{t\left(1-t^2\right)}dt$

Dividir $1$ entre $4$

$2\cdot \frac{1}{4}\int\frac{1+t^{2}}{t\left(1-t^2\right)}dt$

Multiplicar $2$ por $\frac{1}{4}$

$\frac{1}{2}\int\frac{1+t^{2}}{t\left(1-t^2\right)}dt$
7

Sacar el término constante $\frac{1}{4}$ de la integral

$\frac{1}{2}\int\frac{1+t^{2}}{t\left(1-t^2\right)}dt$
8

Utilizar el método de descomposición en fracciones parciales para descomponer la fracción $\frac{1+t^{2}}{t\left(1-t^2\right)}$ en $2$ fracciones más simples

$\frac{1+t^{2}}{t\left(1-t^2\right)}=\frac{A}{t}+\frac{Bt+C}{1-t^2}$
9

Necesitamos encontrar los valores de los coeficientes $A, B, C$ para que se cumpla la igualdad. El primer paso es deshacernos del denominador multiplicando ambos lados de la ecuación del paso anterior por $t\left(1-t^2\right)$

$1+t^{2}=t\left(1-t^2\right)\left(\frac{A}{t}+\frac{Bt+C}{1-t^2}\right)$
10

Multiplicando polinomios

$1+t^{2}=\frac{tA\left(1-t^2\right)}{t}+\frac{t\left(1-t^2\right)\left(Bt+C\right)}{1-t^2}$
11

Simplificando

$1+t^{2}=A\left(1-t^2\right)+t\left(Bt+C\right)$
12

Expandir el polinomio

$1+t^{2}=A-At^2+t^2B+tC$
13

Asignando valores a $t$ obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones

$\begin{matrix}1=A&\:\:\:\:\:\:\:(t=0) \\ 2=B-C&\:\:\:\:\:\:\:(t=-1) \\ 2=B+C&\:\:\:\:\:\:\:(t=1)\end{matrix}$
14

Procedemos a resolver el sistema de ecuaciones lineales

$\begin{matrix}1A & + & 0B & + & 0C & =1 \\ 0A & + & 1B & - & 1C & =2 \\ 0A & + & 1B & + & 1C & =2\end{matrix}$
15

Reescribimos los coeficientes en forma de matriz

$\left(\begin{matrix}1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & -1 & 2 \\ 0 & 1 & 1 & 2\end{matrix}\right)$
16

Reducimos la matriz original a una matriz identidad utilizando el método de eliminación de Gauss-Jordan

$\left(\begin{matrix}1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 0\end{matrix}\right)$
17

La integral de $\frac{1+t^{2}}{t\left(1-t^2\right)}$ en forma descompuesta equivale a

$\frac{1}{2}\int\left(\frac{1}{t}+\frac{2t}{1-t^2}\right)dt$

Expandir la integral $\int\left(\frac{1}{t}+\frac{2t}{1-t^2}\right)dt$ en $2$ integrales usando la regla de la integral de una suma de funciones, para luego resolver cada integral por separado

$\frac{1}{2}\int\frac{1}{t}dt+\frac{1}{2}\int\frac{2t}{1-t^2}dt$

Sacar la parte constante ($2$) de la integral

$\frac{1}{2}\int\frac{1}{t}dt+\int\frac{t}{1-t^2}dt$
18

Simplificando

$\frac{1}{2}\int\frac{1}{t}dt+\int\frac{t}{1-t^2}dt$
19

Podemos resolver la integral $\int\frac{t}{1-t^2}dt$ aplicando el método de integración por sustitución o cambio de variable. Primero, debemos identificar una sección dentro de la integral con una nueva variable (llamémosla $u$), que al ser sustituida, haga la expresión dentro de la integral más sencilla. Podemos ver que $1-t^2$ es un buen candidato para ser sustituido. A continuación, definamos la variable $u$ y asignémosle el candidato

$u=1-t^2$

Derivar ambos lados de la ecuación $u=1-t^2$

$du=\frac{d}{dt}\left(1-t^2\right)$

Encontrar la derivada

$\frac{d}{dt}\left(1-t^2\right)$

La derivada de la suma de dos o más funciones equivale a la suma de las derivadas de cada función por separado

$\frac{d}{dt}\left(1\right)+\frac{d}{dt}\left(-t^2\right)$

La derivada de la función constante ($1$) es igual a cero

$\frac{d}{dt}\left(-t^2\right)$

La derivada de una función multiplicada por una constante ($-1$) es igual a la constante por la derivada de la función

$-\frac{d}{dt}\left(t^2\right)$

Utilizamos la regla de diferenciación de potencias, la cual dice que si $n$ es un número real y si $f(x) = x^n$, entonces $f'(x) = nx^{n-1}$

$-2t$
20

Ahora, para poder reescribir $dt$ en términos de $du$, necesitamos encontrar la derivada de $u$. Por lo tanto, necesitamos calcular $du$, podemos hacerlo derivando la ecuación del paso anterior

$du=-2tdt$
21

Despejando $dt$ de la ecuación anterior

$\frac{du}{-2t}=dt$

Simplificar la fracción $\frac{\frac{t}{u}}{-2t}$ por $t$

$\int\frac{1}{-2u}du$

Sacar el término constante $\frac{1}{-2}$ de la integral

$-\frac{1}{2}\int\frac{1}{u}du$
22

Sustituimos $u$ y $dt$ en la integral y luego simplificamos

$\frac{1}{2}\int\frac{1}{t}dt-\frac{1}{2}\int\frac{1}{u}du$

La integral del inverso de la variable de integración está dada por la siguiente fórmula, $\displaystyle\int\frac{1}{x}dx=\ln(x)$

$\frac{1}{2}\ln\left(t\right)$
23

La integral $\frac{1}{2}\int\frac{1}{t}dt$ da como resultado: $\frac{1}{2}\ln\left(t\right)$

$\frac{1}{2}\ln\left(t\right)$

La integral del inverso de la variable de integración está dada por la siguiente fórmula, $\displaystyle\int\frac{1}{x}dx=\ln(x)$

$-\frac{1}{2}\ln\left(u\right)$

Reemplazar $u$ por el valor que le fue asignado en la sustitución en un principio: $1-t^2$

$-\frac{1}{2}\ln\left(1-t^2\right)$
24

La integral $-\frac{1}{2}\int\frac{1}{u}du$ da como resultado: $-\frac{1}{2}\ln\left(1-t^2\right)$

$-\frac{1}{2}\ln\left(1-t^2\right)$
25

Después de juntar los resultados de todas las integrales individuales, obtenemos

$\frac{1}{2}\ln\left(t\right)-\frac{1}{2}\ln\left(1-t^2\right)$
26

Reemplazar $t$ por el valor que le fue asignado en la sustitución en un principio: $\tan\left(\frac{x}{2}\right)$

$\frac{1}{2}\ln\left(\tan\left(\frac{x}{2}\right)\right)-\frac{1}{2}\ln\left(1-\tan\left(\frac{x}{2}\right)^2\right)$
27

Como la integral que estamos resolviendo es una integral indefinida, al terminar de integrar debemos añadir la constante de integración $C$

$\frac{1}{2}\ln\left(\tan\left(\frac{x}{2}\right)\right)-\frac{1}{2}\ln\left(1-\tan\left(\frac{x}{2}\right)^2\right)+C_0$

Respuesta Final

$\frac{1}{2}\ln\left(\tan\left(\frac{x}{2}\right)\right)-\frac{1}{2}\ln\left(1-\tan\left(\frac{x}{2}\right)^2\right)+C_0$
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