Calcular la integral trigonométrica int(1/(2sin(x)cos(x)))dx

 Ejercicio

$\int\frac{1}{2sin\left(x\right)cos\left(x\right)}dx$

 Solución explicada paso por paso

 

Podemos resolver la integral $\int\frac{1}{2\sin\left(x\right)\cos\left(x\right)}dx$ aplicando el método de sustitución de Weierstrass (también conocido como sustitución universal ó sustitución de tangente del ángulo medio) el cual convierte una integral de funciones trigonométricas en una función racional de $t$ usando la sustitución

$t=\tan\left(\frac{x}{2}\right)$

 

Por lo tanto

$\sin x=\frac{2t}{1+t^{2}},\:\cos x=\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}},\:\mathrm{y}\:\:dx=\frac{2}{1+t^{2}}dt$

 

Sustituyendo en la integral original, obtenemos

$\int\frac{1}{2\left(\frac{2t}{1+t^{2}}\right)\left(\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}}\right)}\frac{2}{1+t^{2}}dt$

 

Simplificando

$\int\frac{1+t^{2}}{2\left(1-t^{2}\right)t}dt$

 

Sacar el término constante $\frac{1}{2}$ de la integral

$\frac{1}{2}\int\frac{1+t^{2}}{\left(1-t^{2}\right)t}dt$

 

Utilizar el método de descomposición en fracciones parciales para descomponer la fracción $\frac{1+t^{2}}{\left(1-t^{2}\right)t}$ en $2$ fracciones más simples

$\frac{2t}{1-t^{2}}+\frac{1}{t}$

 

Simplificamos la expresión

$\int\frac{t}{1-t^{2}}dt+\frac{1}{2}\int\frac{1}{t}dt$

 

Podemos resolver la integral $\int\frac{t}{1-t^{2}}dt$ aplicando el método de integración por sustitución o cambio de variable. Primero, debemos identificar una sección dentro de la integral con una nueva variable (llamémosla $u$), que al ser sustituida, haga la expresión dentro de la integral más sencilla. Podemos ver que $1-t^{2}$ es un buen candidato para ser sustituido. A continuación, definamos la variable $u$ y asignémosle el candidato

Crea diagramas como éste con el generador de diagramas

$u=1-t^{2}$

 

Ahora, para poder reescribir $dt$ en términos de $du$, necesitamos encontrar la derivada de $u$. Por lo tanto, necesitamos calcular $du$, podemos hacerlo derivando la ecuación del paso anterior

$du=-2tdt$

 

Despejando $dt$ de la ecuación anterior

$\frac{du}{-2t}=dt$

 

Sustituimos $u$ y $dt$ en la integral y luego simplificamos

$-\frac{1}{2}\int\frac{1}{u}du+\frac{1}{2}\int\frac{1}{t}dt$

 

La integral $-\frac{1}{2}\int\frac{1}{u}du$ da como resultado: $-\frac{1}{2}\ln\left(1-t^{2}\right)$

$-\frac{1}{2}\ln\left(1-t^{2}\right)$

 

La integral $\frac{1}{2}\int\frac{1}{t}dt$ da como resultado: $\frac{1}{2}\ln\left(t\right)$

$\frac{1}{2}\ln\left(t\right)$

 

Después de juntar los resultados de todas las integrales individuales, obtenemos

$-\frac{1}{2}\ln\left|1-t^{2}\right|+\frac{1}{2}\ln\left|t\right|$

 

Reemplazar $t$ por el valor que le fue asignado en la sustitución en un principio: $\tan\left(\frac{x}{2}\right)$

$-\frac{1}{2}\ln\left|1-\tan\left(\frac{x}{2}\right)^{2}\right|+\frac{1}{2}\ln\left|\tan\left(\frac{x}{2}\right)\right|$

 

Como la integral que estamos resolviendo es una integral indefinida, al terminar de integrar debemos añadir la constante de integración $C$

$-\frac{1}{2}\ln\left|1-\tan\left(\frac{x}{2}\right)^{2}\right|+\frac{1}{2}\ln\left|\tan\left(\frac{x}{2}\right)\right|+C_0$

Respuesta final al problema  

$-\frac{1}{2}\ln\left|1-\tan\left(\frac{x}{2}\right)^{2}\right|+\frac{1}{2}\ln\left|\tan\left(\frac{x}{2}\right)\right|+C_0$

 ¿Cómo debo resolver este problema?

Integración por Sustitución de Weierstrass
Integrar por fracciones parciales
Integrar por cambio de variable
Integrar por partes
Integrar por método tabular
Integrar por sustitución trigonométrica
Integrar usando identidades trigonométricas
Integrar usando integrales básicas
Producto de Binomios con Término Común
Método FOIL
Cargar más...

¿No encuentras un método? Dinos para que podamos agregarlo.

 Ejercicio

 Solución explicada paso por paso

 Respuesta final al problema  

Otros ejercicios resueltos

Empoderando a estudiantes y profesores mediante la IA

✨ ¡Crea tu cuenta hoy!

Empoderando a estudiantes y profesores mediante la IA

 Tu Tutor Personal de Mates. Potenciado por IA

Disponible 24/7, los 365 días del año.

 Soluciones paso a paso completas. Sin anuncios.

 Accede a explicaciones profundas con diagramas.

 Incluye múltiples métodos de resolución.

 Descarga soluciones ilimitadas en formato PDF.

 Acceso premium en nuestras apps de iOS y Android.

 Únete a 1M+ estudiantes en la resolución de problemas.

Elige el plan que más te convenga:

 Paga $39.97 USD de forma segura con tu método de pago.

Por favor espera mientras se procesa tu pago.

Respuesta final al problema  