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Calcular la integral trigonométrica $\int\frac{1}{2\sin\left(x\right)\cos\left(x\right)}dx$

Solución Paso a paso

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Respuesta final al problema

$-\frac{1}{2}\ln\left|1-\tan\left(\frac{x}{2}\right)^{2}\right|+\frac{1}{2}\ln\left|\tan\left(\frac{x}{2}\right)\right|+C_0$
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Solución explicada paso por paso

¿Cómo debo resolver este problema?

  • Integración por Sustitución de Weierstrass
  • Integrar por fracciones parciales
  • Integrar por cambio de variable
  • Integrar por partes
  • Integrar por método tabular
  • Integrar por sustitución trigonométrica
  • Integrar usando identidades trigonométricas
  • Integrar usando integrales básicas
  • Producto de Binomios con Término Común
  • Método FOIL
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Podemos resolver la integral $\int\frac{1}{2\sin\left(x\right)\cos\left(x\right)}dx$ aplicando el método de sustitución de Weierstrass (también conocido como sustitución universal ó sustitución de tangente del ángulo medio) el cual convierte una integral de funciones trigonométricas en una función racional de $t$ usando la sustitución

$t=\tan\left(\frac{x}{2}\right)$
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Por lo tanto

$\sin x=\frac{2t}{1+t^{2}},\:\cos x=\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}},\:\mathrm{y}\:\:dx=\frac{2}{1+t^{2}}dt$
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Sustituyendo en la integral original, obtenemos

$\int\frac{1}{2\left(\frac{2t}{1+t^{2}}\right)\left(\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}}\right)}\frac{2}{1+t^{2}}dt$
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Simplificando

$\int\frac{1+t^{2}}{2\left(1-t^{2}\right)t}dt$
5

Sacar el término constante $\frac{1}{2}$ de la integral

$\frac{1}{2}\int\frac{1+t^{2}}{\left(1-t^{2}\right)t}dt$
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Utilizar el método de descomposición en fracciones parciales para descomponer la fracción $\frac{1+t^{2}}{\left(1-t^{2}\right)t}$ en $2$ fracciones más simples

$\frac{1+t^{2}}{\left(1-t^{2}\right)t}=\frac{At+B}{1-t^{2}}+\frac{C}{t}$
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Necesitamos encontrar los valores de los coeficientes $A, B, C$ para que se cumpla la igualdad. El primer paso es deshacernos del denominador multiplicando ambos lados de la ecuación del paso anterior por $\left(1-t^{2}\right)t$

$1+t^{2}=\left(1-t^{2}\right)t\left(\frac{At+B}{1-t^{2}}+\frac{C}{t}\right)$
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Multiplicando polinomios

$1+t^{2}=\frac{\left(1-t^{2}\right)t\left(At+B\right)}{1-t^{2}}+\frac{\left(1-t^{2}\right)tC}{t}$
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Simplificando

$1+t^{2}=t\left(At+B\right)+\left(1-t^{2}\right)C$
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Asignando valores a $t$ obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones

$\begin{matrix}2=A-B&\:\:\:\:\:\:\:(t=-1) \\ 2=A+B&\:\:\:\:\:\:\:(t=1) \\ 5=4A+2B-3C&\:\:\:\:\:\:\:(t=2)\end{matrix}$
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Procedemos a resolver el sistema de ecuaciones lineales

$\begin{matrix}1A & - & 1B & + & 0C & =2 \\ 1A & + & 1B & + & 0C & =2 \\ 4A & + & 2B & - & 3C & =5\end{matrix}$
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Reescribimos los coeficientes en forma de matriz

$\left(\begin{matrix}1 & -1 & 0 & 2 \\ 1 & 1 & 0 & 2 \\ 4 & 2 & -3 & 5\end{matrix}\right)$
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Reducimos la matriz original a una matriz identidad utilizando el método de eliminación de Gauss-Jordan

$\left(\begin{matrix}1 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1\end{matrix}\right)$
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La integral de $\frac{1+t^{2}}{\left(1-t^{2}\right)t}$ en forma descompuesta equivale a

$\frac{1}{2}\int\left(\frac{2t}{1-t^{2}}+\frac{1}{t}\right)dt$
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Simplificamos la expresión

$\int\frac{t}{1-t^{2}}dt+\frac{1}{2}\int\frac{1}{t}dt$
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Podemos resolver la integral $\int\frac{t}{1-t^{2}}dt$ aplicando el método de integración por sustitución o cambio de variable. Primero, debemos identificar una sección dentro de la integral con una nueva variable (llamémosla $u$), que al ser sustituida, haga la expresión dentro de la integral más sencilla. Podemos ver que $1-t^{2}$ es un buen candidato para ser sustituido. A continuación, definamos la variable $u$ y asignémosle el candidato

$u=1-t^{2}$
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Ahora, para poder reescribir $dt$ en términos de $du$, necesitamos encontrar la derivada de $u$. Por lo tanto, necesitamos calcular $du$, podemos hacerlo derivando la ecuación del paso anterior

$du=-2tdt$
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Despejando $dt$ de la ecuación anterior

$\frac{du}{-2t}=dt$
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Sustituimos $u$ y $dt$ en la integral y luego simplificamos

$-\frac{1}{2}\int\frac{1}{u}du+\frac{1}{2}\int\frac{1}{t}dt$
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La integral $-\frac{1}{2}\int\frac{1}{u}du$ da como resultado: $-\frac{1}{2}\ln\left|1-t^{2}\right|$

$-\frac{1}{2}\ln\left|1-t^{2}\right|$
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La integral $\frac{1}{2}\int\frac{1}{t}dt$ da como resultado: $\frac{1}{2}\ln\left|t\right|$

$\frac{1}{2}\ln\left|t\right|$
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Después de juntar los resultados de todas las integrales individuales, obtenemos

$-\frac{1}{2}\ln\left|1-t^{2}\right|+\frac{1}{2}\ln\left|t\right|$
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Reemplazar $t$ por el valor que le fue asignado en la sustitución en un principio: $\tan\left(\frac{x}{2}\right)$

$-\frac{1}{2}\ln\left|1-\tan\left(\frac{x}{2}\right)^{2}\right|+\frac{1}{2}\ln\left|\tan\left(\frac{x}{2}\right)\right|$
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Como la integral que estamos resolviendo es una integral indefinida, al terminar de integrar debemos añadir la constante de integración $C$

$-\frac{1}{2}\ln\left|1-\tan\left(\frac{x}{2}\right)^{2}\right|+\frac{1}{2}\ln\left|\tan\left(\frac{x}{2}\right)\right|+C_0$

Respuesta final al problema

$-\frac{1}{2}\ln\left|1-\tan\left(\frac{x}{2}\right)^{2}\right|+\frac{1}{2}\ln\left|\tan\left(\frac{x}{2}\right)\right|+C_0$

Explora distintas formas de resolver este problema

Resolver un ejercicio matemático utilizando diferentes métodos es importante porque mejora la comprensión, fomenta el pensamiento crítico, permite múltiples soluciones y desarrolla distintas estrategias de resolución de problemas. Leer más

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Gráfico de la Función

Gráfico de: $-\frac{1}{2}\ln\left|1-\tan\left(\frac{x}{2}\right)^{2}\right|+\frac{1}{2}\ln\left|\tan\left(\frac{x}{2}\right)\right|+C_0$

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Son aquellas integrales que contienen funciones trigonométricas y sus potencias. Para su mejor comprensión y resolución, se han separado en diferentes casos.

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