Solución Paso a paso

Calcular la integral trigonométrica $\int\frac{1}{2\sin\left(x\right)\cos\left(x\right)}dx$

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Respuesta Final

$-\frac{1}{2}\ln\left(1+\tan\left(\frac{x}{2}\right)\right)+\frac{1}{2}\ln\left(\tan\left(\frac{x}{2}\right)\right)-\frac{1}{2}\ln\left(-\tan\left(\frac{x}{2}\right)+1\right)+C_0$
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Solución explicada paso por paso

Problema a resolver:

$\int\frac{1}{2sin\left(x\right)cos\left(x\right)}dx$

Método de resolución

1

Podemos resolver la integral $\int\frac{1}{2\sin\left(x\right)\cos\left(x\right)}dx$ aplicando el método de sustitución de Weierstrass (también conocido como sustitución universal ó sustitución de tangente del ángulo medio) el cual convierte una integral de funciones trigonométricas en una función racional de $t$ usando la sustitución

$t=\tan\left(\frac{x}{2}\right)$
2

Por lo tanto

$\sin x=\frac{2t}{1+t^{2}},\:\cos x=\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}},\:\mathrm{y}\:\:dx=\frac{2}{1+t^{2}}dt$
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Sustituyendo en la integral original, obtenemos

$\int\frac{1}{2\left(\frac{2t}{1+t^{2}}\right)\left(\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}}\right)}\frac{2}{1+t^{2}}dt$

Multiplicando fracciones $\frac{2t}{1+t^{2}} \times \frac{1-t^{2}}{1+t^{2}}$

$\int\frac{1}{2\left(\frac{2t\left(1-t^{2}\right)}{\left(1+t^{2}\right)\left(1+t^{2}\right)}\right)}\frac{2}{1+t^{2}}dt$

Al multiplicar dos potencias de igual base ($1+t^{2}$), se pueden sumar los exponentes

$\int\frac{1}{2\left(\frac{2t\left(1-t^{2}\right)}{\left(1+t^{2}\right)^2}\right)}\frac{2}{1+t^{2}}dt$

Multiplicando la fracción por el término $2$

$\int\frac{1}{\frac{4t\left(1-t^{2}\right)}{\left(1+t^{2}\right)^2}}\frac{2}{1+t^{2}}dt$

Dividir las fracciones $\frac{1}{\frac{4t\left(1-t^{2}\right)}{\left(1+t^{2}\right)^2}}$ multiplicando en cruz: $a\div \frac{b}{c}=\frac{a}{1}\div\frac{b}{c}=\frac{a}{1}\times\frac{c}{b}=\frac{a\cdot c}{b}$

$\int\frac{\left(1+t^{2}\right)^2}{4t\left(1-t^{2}\right)}\frac{2}{1+t^{2}}dt$

Un binomio al cuadrado (suma) es igual al cuadrado del primer término, más el doble producto del primero por el segundo, más el cuadrado del segundo término. En otras palabras: $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$

  • Cuadrado del primer término: $\left(1\right)^2 = 1^2$
  • Dos veces el primero por el segundo: $2\left(1\right)\left(t^{2}\right) = 2\cdot 1t^{2}$
  • Cuadrado del segundo término: $\left(t^{2}\right)^2 = \left(t^{2}\right)^2$

$\int\frac{1+2t^{2}+t^{4}}{4t-4t^{3}}\frac{2}{1+t^{2}}dt$

Multiplicando fracciones $\frac{1+2t^{2}+t^{4}}{4t-4t^{3}} \times \frac{2}{1+t^{2}}$

$\int\frac{2\left(1+2t^{2}+t^{4}\right)}{\left(4t-4t^{3}\right)\left(1+t^{2}\right)}dt$
4

Simplificando

$\int\frac{2\left(1+2t^{2}+t^{4}\right)}{\left(4t-4t^{3}\right)\left(1+t^{2}\right)}dt$
5

Sacar la constante $2$ del argumento de la integral

$2\int\frac{1+2t^{2}+t^{4}}{\left(4t-4t^{3}\right)\left(1+t^{2}\right)}dt$
6

Factoizar el polinomio $\left(4t-4t^{3}\right)$ por su GCF: $4t$

$2\int\frac{1+2t^{2}+t^{4}}{4t\left(1-t^2\right)\left(1+t^{2}\right)}dt$

Calcular la potencia $\sqrt{1}$

$2\int\frac{1+2t^{2}+t^{4}}{4t\left(1+\sqrt{1t^2}\right)\left(1+t^{2}\right)\left(\sqrt{1}-\sqrt{1t^2}\right)}dt$

Cualquier expresión algebraica multiplicada por uno es igual a esa misma expresión

$2\int\frac{1+2t^{2}+t^{4}}{4t\left(1+t\right)\left(1+t^{2}\right)\left(1-t\right)}dt$
7

Factorizar la diferencia de cuadrados $\left(1-t^2\right)$ como el producto de dos binomios conjugados

$2\int\frac{1+2t^{2}+t^{4}}{4t\left(1+t\right)\left(1+t^{2}\right)\left(1-t\right)}dt$

$2\left(\frac{1}{4}\right)\int\frac{1+2t^{2}+t^{4}}{t\left(1+t\right)\left(1+t^{2}\right)\left(1-t\right)}dt$

Dividir $1$ entre $4$

$2\cdot \frac{1}{4}\int\frac{1+2t^{2}+t^{4}}{t\left(1+t\right)\left(1+t^{2}\right)\left(1-t\right)}dt$

Multiplicar $2$ por $\frac{1}{4}$

$\frac{1}{2}\int\frac{1+2t^{2}+t^{4}}{t\left(1+t\right)\left(1+t^{2}\right)\left(1-t\right)}dt$
8

Sacar el término constante $\frac{1}{4}$ de la integral

$\frac{1}{2}\int\frac{1+2t^{2}+t^{4}}{t\left(1+t\right)\left(1+t^{2}\right)\left(1-t\right)}dt$
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Utilizar el método de descomposición en fracciones parciales para descomponer la fracción $\frac{1+2t^{2}+t^{4}}{t\left(1+t\right)\left(1+t^{2}\right)\left(1-t\right)}$ en $4$ fracciones más simples

$\frac{1+2t^{2}+t^{4}}{t\left(1+t\right)\left(1+t^{2}\right)\left(1-t\right)}=\frac{A}{t}+\frac{B}{1+t}+\frac{Ct+D}{1+t^{2}}+\frac{F}{1-t}$
10

Necesitamos encontrar los valores de los coeficientes $A, B, C, D, F$ para que se cumpla la igualdad. El primer paso es deshacernos del denominador multiplicando ambos lados de la ecuación del paso anterior por $t\left(1+t\right)\left(1+t^{2}\right)\left(1-t\right)$

$1+2t^{2}+t^{4}=t\left(1+t\right)\left(1+t^{2}\right)\left(1-t\right)\left(\frac{A}{t}+\frac{B}{1+t}+\frac{Ct+D}{1+t^{2}}+\frac{F}{1-t}\right)$
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Multiplicando polinomios

$1+2t^{2}+t^{4}=\frac{tA\left(1+t\right)\left(1+t^{2}\right)\left(1-t\right)}{t}+\frac{tB\left(1+t\right)\left(1+t^{2}\right)\left(1-t\right)}{1+t}+\frac{t\left(1+t\right)\left(1+t^{2}\right)\left(1-t\right)\left(Ct+D\right)}{1+t^{2}}+\frac{tF\left(1+t\right)\left(1+t^{2}\right)\left(1-t\right)}{1-t}$
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Simplificando

$1+2t^{2}+t^{4}=A\left(1+t\right)\left(1+t^{2}\right)\left(1-t\right)+tB\left(1+t^{2}\right)\left(1-t\right)+t\left(1+t\right)\left(1-t\right)\left(Ct+D\right)+tF\left(1+t\right)\left(1+t^{2}\right)$
13

Expandir el polinomio

$1+2t^{2}+t^{4}=A+At+t^{2}A+t^{3}A-tA-t^2A-t^{3}A-t^{4}A+Bt+Bt^{3}-t^2B-t^{4}B+t^2C-tCt^{3}+D\left(t-t^{3}\right)+\left(Ft+Ft^2\right)\left(1+t^{2}\right)$
14

Asignando valores a $t$ obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones

$\begin{matrix}1=A&\:\:\:\:\:\:\:(t=0) \\ 4=-4B&\:\:\:\:\:\:\:(t=-1) \\ 4=4F&\:\:\:\:\:\:\:(t=1) \\ 25=-15A-10B-12C-6D+30F&\:\:\:\:\:\:\:(t=2) \\ 25=-15A-30B-12C+6D+10F&\:\:\:\:\:\:\:(t=-2)\end{matrix}$
15

Procedemos a resolver el sistema de ecuaciones lineales

$\begin{matrix}1A & + & 0B & + & 0C & + & 0D & + & 0F & =1 \\ 0A & - & 4B & + & 0C & + & 0D & + & 0F & =4 \\ 0A & + & 0B & + & 0C & + & 0D & + & 4F & =4 \\ -15A & - & 10B & - & 12C & - & 6D & + & 30F & =25 \\ -15A & - & 30B & - & 12C & + & 6D & + & 10F & =25\end{matrix}$
16

Reescribimos los coeficientes en forma de matriz

$\left(\begin{matrix}1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & -4 & 0 & 0 & 0 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 4 & 4 \\ -15 & -10 & -12 & -6 & 30 & 25 \\ -15 & -30 & -12 & 6 & 10 & 25\end{matrix}\right)$
17

Reducimos la matriz original a una matriz identidad utilizando el método de eliminación de Gauss-Jordan

$\left(\begin{matrix}1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1\end{matrix}\right)$
18

La integral de $\frac{1+2t^{2}+t^{4}}{t\left(1+t\right)\left(1+t^{2}\right)\left(1-t\right)}$ en forma descompuesta equivale a

$\frac{1}{2}\int\left(\frac{-1}{1+t}+\frac{1}{t}+\frac{1}{1-t}\right)dt$
19

Expandir la integral $\int\left(\frac{-1}{1+t}+\frac{1}{t}+\frac{1}{1-t}\right)dt$ usando la regla de la integral de una suma de funciones

$\frac{1}{2}\int\frac{-1}{1+t}dt+\frac{1}{2}\int\frac{1}{t}dt+\frac{1}{2}\int\frac{1}{1-t}dt$
20

Podemos resolver la integral $\int\frac{-1}{1+t}dt$ aplicando el método de integración por sustitución o cambio de variable. Primero, debemos identificar una sección dentro de la integral con una nueva variable (llamémosla $u$), que al ser sustituida, haga la expresión dentro de la integral más sencilla. Podemos ver que $1+t$ es un buen candidato para ser sustituido. A continuación, definamos la variable $u$ y asignémosle el candidato

$u=1+t$

Derivar ambos lados de la ecuación $u=1+t$

$du=\frac{d}{dt}\left(1+t\right)$

Encontrar la derivada

$\frac{d}{dt}\left(1+t\right)$

La derivada de la suma de dos o más funciones equivale a la suma de las derivadas de cada función por separado

$\frac{d}{dt}\left(1\right)+\frac{d}{dt}\left(t\right)$

La derivada de la función constante ($1$) es igual a cero

$\frac{d}{dt}\left(t\right)$

Utilizando la regla de diferenciación de potencias, la derivada de la función lineal es $1$

$1$
21

Ahora, para poder reescribir $dt$ en términos de $du$, necesitamos encontrar la derivada de $u$. Por lo tanto, necesitamos calcular $du$, podemos hacerlo derivando la ecuación del paso anterior

$du=dt$
22

Sustituimos $u$ y $dt$ en la integral y luego simplificamos

$\frac{1}{2}\int\frac{-1}{u}du+\frac{1}{2}\int\frac{1}{t}dt+\frac{1}{2}\int\frac{1}{1-t}dt$

La integral del inverso de la variable de integración está dada por la siguiente fórmula, $\displaystyle\int\frac{1}{x}dx=\ln(x)$

$-\frac{1}{2}\ln\left(u\right)$

Reemplazar $u$ por el valor que le fue asignado en la sustitución en un principio: $1+t$

$-\frac{1}{2}\ln\left(1+t\right)$
23

La integral $\frac{1}{2}\int\frac{-1}{u}du$ da como resultado: $-\frac{1}{2}\ln\left(1+t\right)$

$-\frac{1}{2}\ln\left(1+t\right)$

La integral del inverso de la variable de integración está dada por la siguiente fórmula, $\displaystyle\int\frac{1}{x}dx=\ln(x)$

$\frac{1}{2}\ln\left(t\right)$
24

La integral $\frac{1}{2}\int\frac{1}{t}dt$ da como resultado: $\frac{1}{2}\ln\left(t\right)$

$\frac{1}{2}\ln\left(t\right)$

Aplicamos la regla: $\int\frac{n}{ax+b}dx$$=\frac{n}{a}\ln\left(ax+b\right)$, donde $a=-1$, $b=1$, $x=t$ y $n=1$

$-\frac{1}{2}\ln\left(-t+1\right)$
25

La integral $\frac{1}{2}\int\frac{1}{1-t}dt$ da como resultado: $-\frac{1}{2}\ln\left(-t+1\right)$

$-\frac{1}{2}\ln\left(-t+1\right)$
26

Después de juntar los resultados de todas las integrales individuales, obtenemos

$-\frac{1}{2}\ln\left(1+t\right)+\frac{1}{2}\ln\left(t\right)-\frac{1}{2}\ln\left(-t+1\right)$
27

Reemplazar $t$ por el valor que le fue asignado en la sustitución en un principio: $\tan\left(\frac{x}{2}\right)$

$-\frac{1}{2}\ln\left(1+\tan\left(\frac{x}{2}\right)\right)+\frac{1}{2}\ln\left(\tan\left(\frac{x}{2}\right)\right)-\frac{1}{2}\ln\left(-\tan\left(\frac{x}{2}\right)+1\right)$
28

Como la integral que estamos resolviendo es una integral indefinida, al terminar de integrar debemos añadir la constante de integración $C$

$-\frac{1}{2}\ln\left(1+\tan\left(\frac{x}{2}\right)\right)+\frac{1}{2}\ln\left(\tan\left(\frac{x}{2}\right)\right)-\frac{1}{2}\ln\left(-\tan\left(\frac{x}{2}\right)+1\right)+C_0$

Respuesta Final

$-\frac{1}{2}\ln\left(1+\tan\left(\frac{x}{2}\right)\right)+\frac{1}{2}\ln\left(\tan\left(\frac{x}{2}\right)\right)-\frac{1}{2}\ln\left(-\tan\left(\frac{x}{2}\right)+1\right)+C_0$
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