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Ejercicio

$\int\frac{1}{2sin\left(x\right)cos\left(x\right)}dx$

Solución explicada paso por paso

1

Podemos resolver la integral $\int\frac{1}{2\sin\left(x\right)\cos\left(x\right)}dx$ aplicando el método de sustitución de Weierstrass (también conocido como sustitución universal ó sustitución de tangente del ángulo medio) el cual convierte una integral de funciones trigonométricas en una función racional de $t$ usando la sustitución

$t=\tan\left(\frac{x}{2}\right)$
2

Por lo tanto

$\sin x=\frac{2t}{1+t^{2}},\:\cos x=\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}},\:\mathrm{y}\:\:dx=\frac{2}{1+t^{2}}dt$
3

Sustituyendo en la integral original, obtenemos

$\int\frac{1}{2\left(\frac{2t}{1+t^{2}}\right)\left(\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}}\right)}\frac{2}{1+t^{2}}dt$
4

Simplificando

$\int\frac{1+t^{2}}{2\left(1-t^{2}\right)t}dt$
5

Sacar el término constante $\frac{1}{2}$ de la integral

$\frac{1}{2}\int\frac{1+t^{2}}{\left(1-t^{2}\right)t}dt$
6

Utilizar el método de descomposición en fracciones parciales para descomponer la fracción $\frac{1+t^{2}}{\left(1-t^{2}\right)t}$ en $2$ fracciones más simples

$\frac{2t}{1-t^{2}}+\frac{1}{t}$
7

Simplificamos la expresión

$\int\frac{t}{1-t^{2}}dt+\frac{1}{2}\int\frac{1}{t}dt$
8

Podemos resolver la integral $\int\frac{t}{1-t^{2}}dt$ aplicando el método de integración por sustitución o cambio de variable. Primero, debemos identificar una sección dentro de la integral con una nueva variable (llamémosla $u$), que al ser sustituida, haga la expresión dentro de la integral más sencilla. Podemos ver que $1-t^{2}$ es un buen candidato para ser sustituido. A continuación, definamos la variable $u$ y asignémosle el candidato

Crea diagramas como éste con el generador de diagramas
$u=1-t^{2}$
9

Ahora, para poder reescribir $dt$ en términos de $du$, necesitamos encontrar la derivada de $u$. Por lo tanto, necesitamos calcular $du$, podemos hacerlo derivando la ecuación del paso anterior

$du=-2tdt$
10

Despejando $dt$ de la ecuación anterior

$\frac{du}{-2t}=dt$
11

Sustituimos $u$ y $dt$ en la integral y luego simplificamos

$-\frac{1}{2}\int\frac{1}{u}du+\frac{1}{2}\int\frac{1}{t}dt$
12

La integral $-\frac{1}{2}\int\frac{1}{u}du$ da como resultado: $-\frac{1}{2}\ln\left(1-t^{2}\right)$

$-\frac{1}{2}\ln\left(1-t^{2}\right)$
13

La integral $\frac{1}{2}\int\frac{1}{t}dt$ da como resultado: $\frac{1}{2}\ln\left(t\right)$

$\frac{1}{2}\ln\left(t\right)$
14

Después de juntar los resultados de todas las integrales individuales, obtenemos

$-\frac{1}{2}\ln\left|1-t^{2}\right|+\frac{1}{2}\ln\left|t\right|$
15

Reemplazar $t$ por el valor que le fue asignado en la sustitución en un principio: $\tan\left(\frac{x}{2}\right)$

$-\frac{1}{2}\ln\left|1-\tan\left(\frac{x}{2}\right)^{2}\right|+\frac{1}{2}\ln\left|\tan\left(\frac{x}{2}\right)\right|$
16

Como la integral que estamos resolviendo es una integral indefinida, al terminar de integrar debemos añadir la constante de integración $C$

$-\frac{1}{2}\ln\left|1-\tan\left(\frac{x}{2}\right)^{2}\right|+\frac{1}{2}\ln\left|\tan\left(\frac{x}{2}\right)\right|+C_0$

Respuesta final al problema

$-\frac{1}{2}\ln\left|1-\tan\left(\frac{x}{2}\right)^{2}\right|+\frac{1}{2}\ln\left|\tan\left(\frac{x}{2}\right)\right|+C_0$

¿Cómo debo resolver este problema?

  • Integración por Sustitución de Weierstrass
  • Integrar por fracciones parciales
  • Integrar por cambio de variable
  • Integrar por partes
  • Integrar por método tabular
  • Integrar por sustitución trigonométrica
  • Integrar usando identidades trigonométricas
  • Integrar usando integrales básicas
  • Producto de Binomios con Término Común
  • Método FOIL
  • Cargar más...
¿No encuentras un método? Dinos para que podamos agregarlo.

Otros ejercicios resueltos

$\frac{dy}{dx}+y\:tan\:\left(x\right)=\:sin\left(2x\right)\:for\:y\:\left(0\right)\:=\:1$

$gago\:ka$

$4^{-5}\cdot4^5$

$4\tan\left(x\right)+5=2$

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$y^3dx+22\left(x^3-2xy^2\right)dy=0$

$2.\left(1-3\right)\cdot\left(2-1\right)$
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asec
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coth
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atanh
acoth
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