Respuesta Final
Solución explicada paso por paso
Problema a resolver:
Elige el método de resolución
Podemos resolver la integral $\int\frac{1}{2\sin\left(x\right)\cos\left(x\right)}dx$ aplicando el método de sustitución de Weierstrass (también conocido como sustitución universal ó sustitución de tangente del ángulo medio) el cual convierte una integral de funciones trigonométricas en una función racional de $t$ usando la sustitución
Por lo tanto
Sustituyendo en la integral original, obtenemos
Multiplicando fracciones $\frac{2t}{1+t^{2}} \times \frac{1-t^{2}}{1+t^{2}}$
Multiplicando la fracción por el término $2$
Dividir las fracciones $\frac{1}{\frac{4t\left(1-t^{2}\right)}{\left(1+t^{2}\right)^2}}$ multiplicando en cruz: $a\div \frac{b}{c}=\frac{a}{1}\div\frac{b}{c}=\frac{a}{1}\times\frac{c}{b}=\frac{a\cdot c}{b}$
Un binomio al cuadrado (resta) es igual al cuadrado del primer término, menos el doble producto del primero por el segundo, más el cuadrado del segundo término. En otras palabras: $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$
- Cuadrado del primer término: $\left(1\right)^2 = 1^2$
- Dos veces el primero por el segundo: $2\left(1\right)\left(t^{2}\right) = 2\cdot 1t^{2}$
- Cuadrado del segundo término: $\left(t^{2}\right)^2 = \left(t^{2}\right)^2$
Multiplicando fracciones $\frac{1+2t^{2}+t^{4}}{4t-4t^{3}} \times \frac{2}{1+t^{2}}$
Simplificando
Sacar la constante $2$ del argumento de la integral
El trinomio $1+2t^{2}+t^{4}$ es un trinomio cuadrado perfecto, ya que su discriminante es igual a cero
Utilizamos la relación del trinomio cuadrado perfecto
Factorizamos el trinomio cuadrado perfecto
Simplificar la fracción $\frac{\left(t^{2}+1\right)^{2}}{\left(4t-4t^{3}\right)\left(1+t^{2}\right)}$ por $1+t^{2}$
Restar los valores $2$ y $-1$
Cualquier expresión elevada a la potencia uno es igual a esa misma expresión
Cualquier expresión algebraica multiplicada por uno es igual a esa misma expresión
Factoizar el polinomio $4t-4t^{3}$ por su GCF: $4t$
Reescribir la expresión $\frac{1+2t^{2}+t^{4}}{\left(4t-4t^{3}\right)\left(1+t^{2}\right)}$ que está dentro de la integral en forma factorizada
Sacar el término constante $\frac{1}{4}$ de la integral
Dividir $1$ entre $4$
Multiplicar $2$ por $\frac{1}{4}$
Sacar el término constante $\frac{1}{4}$ de la integral
Utilizar el método de descomposición en fracciones parciales para descomponer la fracción $\frac{1+t^{2}}{t\left(1-t^2\right)}$ en $2$ fracciones más simples
Necesitamos encontrar los valores de los coeficientes $A, B, C$ para que se cumpla la igualdad. El primer paso es deshacernos del denominador multiplicando ambos lados de la ecuación del paso anterior por $t\left(1-t^2\right)$
Multiplicando polinomios
Simplificando
Expandir el polinomio
Asignando valores a $t$ obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones
Procedemos a resolver el sistema de ecuaciones lineales
Reescribimos los coeficientes en forma de matriz
Reducimos la matriz original a una matriz identidad utilizando el método de eliminación de Gauss-Jordan
La integral de $\frac{1+t^{2}}{t\left(1-t^2\right)}$ en forma descompuesta equivale a
Expandir la integral $\int\left(\frac{1}{t}+\frac{2t}{1-t^2}\right)dt$ en $2$ integrales usando la regla de la integral de una suma de funciones, para luego resolver cada integral por separado
Sacar la parte constante ($2$) de la integral
Simplificando
Podemos resolver la integral $\int\frac{t}{1-t^2}dt$ aplicando el método de integración por sustitución o cambio de variable. Primero, debemos identificar una sección dentro de la integral con una nueva variable (llamémosla $u$), que al ser sustituida, haga la expresión dentro de la integral más sencilla. Podemos ver que $1-t^2$ es un buen candidato para ser sustituido. A continuación, definamos la variable $u$ y asignémosle el candidato
Derivar ambos lados de la ecuación $u=1-t^2$
Encontrar la derivada
La derivada de la suma de dos o más funciones equivale a la suma de las derivadas de cada función por separado
La derivada de la función constante ($1$) es igual a cero
La derivada de una función multiplicada por una constante ($-1$) es igual a la constante por la derivada de la función
Utilizamos la regla de diferenciación de potencias, la cual dice que si $n$ es un número real y si $f(x) = x^n$, entonces $f'(x) = nx^{n-1}$
Ahora, para poder reescribir $dt$ en términos de $du$, necesitamos encontrar la derivada de $u$. Por lo tanto, necesitamos calcular $du$, podemos hacerlo derivando la ecuación del paso anterior
Despejando $dt$ de la ecuación anterior
Simplificar la fracción $\frac{\frac{t}{u}}{-2t}$ por $t$
Sacar el término constante $\frac{1}{-2}$ de la integral
Sustituimos $u$ y $dt$ en la integral y luego simplificamos
La integral del inverso de la variable de integración está dada por la siguiente fórmula, $\displaystyle\int\frac{1}{x}dx=\ln(x)$
La integral $\frac{1}{2}\int\frac{1}{t}dt$ da como resultado: $\frac{1}{2}\ln\left(t\right)$
La integral del inverso de la variable de integración está dada por la siguiente fórmula, $\displaystyle\int\frac{1}{x}dx=\ln(x)$
Reemplazar $u$ por el valor que le fue asignado en la sustitución en un principio: $1-t^2$
La integral $-\frac{1}{2}\int\frac{1}{u}du$ da como resultado: $-\frac{1}{2}\ln\left(1-t^2\right)$
Después de juntar los resultados de todas las integrales individuales, obtenemos
Reemplazar $t$ por el valor que le fue asignado en la sustitución en un principio: $\tan\left(\frac{x}{2}\right)$
Como la integral que estamos resolviendo es una integral indefinida, al terminar de integrar debemos añadir la constante de integración $C$