Podemos resolver la integral $\int\frac{1}{2\sin\left(x\right)\cos\left(x\right)}dx$ aplicando el método de sustitución de Weierstrass (también conocido como sustitución universal ó sustitución de tangente del ángulo medio) el cual convierte una integral de funciones trigonométricas en una función racional de $t$ usando la sustitución

Por lo tanto

Sustituyendo en la integral original, obtenemos

Sacar el término constante $\frac{1}{2}$ de la integral

Podemos resolver la integral $\int\frac{t}{1-t^{2}}dt$ aplicando el método de integración por sustitución o cambio de variable. Primero, debemos identificar una sección dentro de la integral con una nueva variable (llamémosla $u$), que al ser sustituida, haga la expresión dentro de la integral más sencilla. Podemos ver que $1-t^{2}$ es un buen candidato para ser sustituido. A continuación, definamos la variable $u$ y asignémosle el candidato

Despejando $dt$ de la ecuación anterior

Después de juntar los resultados de todas las integrales individuales, obtenemos

Reemplazar $t$ por el valor que le fue asignado en la sustitución en un principio: $\tan\left(\frac{x}{2}\right)$

Como la integral que estamos resolviendo es una integral indefinida, al terminar de integrar debemos añadir la constante de integración $C$