Respuesta Final
Solución explicada paso por paso
Especifica el método de resolución
Podemos resolver la integral $\int\ln\left(\sqrt{x}+\sqrt{1+x}\right)dx$ aplicando el método de integración por partes para calcular la integral del producto de dos funciones, mediante la siguiente fórmula
La derivada del logaritmo natural es igual a la derivada de la función dividida por la función. Si $f(x)=ln\:a$ (donde $a$ está en función de $x$), entonces $\displaystyle f'(x)=\frac{a'}{a}$
La derivada de la suma de dos o más funciones equivale a la suma de las derivadas de cada función por separado
Utilizamos la regla de diferenciación de potencias, la cual dice que si $n$ es un número real y si $f(x) = x^n$, entonces $f'(x) = nx^{n-1}$
Utilizamos la regla de diferenciación de potencias, la cual dice que si $n$ es un número real y si $f(x) = x^n$, entonces $f'(x) = nx^{n-1}$
La derivada de la suma de dos o más funciones equivale a la suma de las derivadas de cada función por separado
La derivada de la función constante ($1$) es igual a cero
Utilizando la regla de diferenciación de potencias, la derivada de la función lineal es igual a $1$
Multiplicando la fracción por el término $\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}+\frac{1}{2}\left(1+x\right)^{-\frac{1}{2}}$
Aplicando la propiedad de la potenciación, $\displaystyle a^{-n}=\frac{1}{a^n}$, donde $n$ es un número
El mínimo común múltiplo (MCM) de una suma de fracciones algebraicas consiste en el producto de los factores comunes con mayor exponente, y los factores no comunes
Obtenido el mínimo común multiplo (MCM), lo colocamos como denominador de cada fracción, y en el numerador de cada fracción añadimos los factores que nos hacen falta para completar
Combinar y simplificar todos los términos dentro de una misma fracción con $2\sqrt{x}\sqrt{1+x}$ como denominador común
Dividir las fracciones $\frac{\frac{\sqrt{1+x}+\sqrt{x}}{2\sqrt{x}\sqrt{1+x}}}{\sqrt{x}+\sqrt{1+x}}$ multiplicando en cruz: $\frac{a}{b}\div c=\frac{a}{b}\div\frac{c}{1}=\frac{a}{b}\times\frac{1}{c}=\frac{a}{b\cdot c}$
Simplificar la fracción $\frac{\sqrt{1+x}+\sqrt{x}}{2\sqrt{x}\sqrt{1+x}\left(\sqrt{x}+\sqrt{1+x}\right)}$ por $\sqrt{1+x}+\sqrt{x}$
Primero, identificamos $u$ y calculamos $du$
Luego, identificamos $dv$ y calculamos $v$
Calcular la integral
La integral de una constante es igual a la constante multiplicada por la variable de integración
Simplificar la fracción por $x$
Con los valores obtenidos, sustituimos $u$, $du$ y $v$ en la fórmula general
Sacar el término constante $\frac{1}{2}$ de la integral
Multiplicar $-1$ por $\frac{1}{2}$
Podemos resolver la integral $\int\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{1+x}}dx$ aplicando el método de integración por sustitución o cambio de variable. Primero, debemos identificar una sección dentro de la integral con una nueva variable (llamémosla $u$), que al ser sustituida, haga la expresión dentro de la integral más sencilla. Podemos ver que $\sqrt{1+x}$ es un buen candidato para ser sustituido. A continuación, definamos la variable $u$ y asignémosle el candidato
Ahora, para poder reescribir $dx$ en términos de $du$, necesitamos encontrar la derivada de $u$. Por lo tanto, necesitamos calcular $du$, podemos hacerlo derivando la ecuación del paso anterior
Despejando $dx$ de la ecuación anterior
Reescribir $x$ en términos de $u$
Sustituimos $u$, $dx$ y $x$ en la integral y luego simplificamos
La integral de una función multiplicada por una constante ($2$) es igual a la constante multiplicada por la integral de la función
Podemos resolver la integral $-\int\sqrt{u^{2}-1}du$ mediante el método de integración por sustitución trigonométrica. Tomamos el cambio de variable
Ahora, para poder reescribir $d\theta$ en términos de $du$, necesitamos encontrar la derivada de $u$. Por lo tanto, necesitamos calcular $du$, podemos hacerlo derivando la ecuación del paso anterior
Sustituyendo en la integral original, obtenemos
Aplicamos la identidad trigonométrica: $\sec\left(\theta \right)^2-1$$=\tan\left(\theta \right)^2$, donde $x=\theta $
Simplificar $\sqrt{\tan\left(\theta \right)^2}$ aplicando la regla de potencia de una potencia: $\left(a^m\right)^n=a^{m\cdot n}$. En la expresión, $m$ es igual a $2$ y $n$ es igual a $\frac{1}{2}$
Al multiplicar dos potencias de igual base ($\tan\left(\theta \right)$), se pueden sumar los exponentes
Podemos identificar que la integral es de la forma $\int\tan^m(x)\sec^n(x)dx$. Si la potencia $n$ es impar y $m$ es par, entonces debemos expresar todas las funciones en términos de secantes, expandir e integrar por separado
Multiplicar el término $\sec\left(\theta \right)$ por cada término del polinomio $\left(\sec\left(\theta \right)^2-1\right)$
Expandir la integral $\int\left(\sec\left(\theta \right)^{3}-\sec\left(\theta \right)\right)d\theta$ en $2$ integrales usando la regla de la integral de una suma de funciones, para luego resolver cada integral por separado
La integral de una función multiplicada por una constante ($-1$) es igual a la constante multiplicada por la integral de la función
Cualquier expresión algebraica multiplicada por uno es igual a esa misma expresión
La integral de la secante está dada por la fórmula, $\displaystyle\int\sec(x)dx=\ln\left|\sec(x)+\tan(x)\right|$
Expresar la variable $\theta$ términos de la variable original $x$
Reemplazar $u$ por el valor que le fue asignado en la sustitución en un principio: $\sqrt{1+x}$
Restar los valores $1$ y $-1$
Reescribir $\sec\left(\theta \right)^{3}$ como el producto de dos secantes
Podemos resolver la integral $\int\sec\left(\theta \right)^2\sec\left(\theta \right)d\theta$ aplicando el método de integración por partes para calcular la integral del producto de dos funciones, mediante la siguiente fórmula
Primero, identificamos $u$ y calculamos $du$
Luego, identificamos $dv$ y calculamos $v$
Calcular la integral
La integral de $\sec(x)^2$ es $\tan(x)$
Con los valores obtenidos, sustituimos $u$, $du$ y $v$ en la fórmula general
Multiplicar el término $-1$ por cada término del polinomio $\left(\tan\left(\theta \right)\sec\left(\theta \right)-\int\tan\left(\theta \right)^2\sec\left(\theta \right)d\theta\right)$
Expresar la variable $\theta$ términos de la variable original $x$
Reemplazar $u$ por el valor que le fue asignado en la sustitución en un principio: $\sqrt{1+x}$
Restar los valores $1$ y $-1$
Aplicamos la regla: $\int\sec\left(\theta \right)\tan\left(\theta \right)^2dx$$=\int\sec\left(\theta \right)^3dx-\int\sec\left(\theta \right)dx$, donde $x=\theta $
La integral de la secante está dada por la fórmula, $\displaystyle\int\sec(x)dx=\ln\left|\sec(x)+\tan(x)\right|$
Expresar la variable $\theta$ términos de la variable original $x$
Reemplazar $u$ por el valor que le fue asignado en la sustitución en un principio: $\sqrt{1+x}$
Restar los valores $1$ y $-1$
Reduciendo términos semejantes $-\ln\left(\sqrt{1+x}+\sqrt{x}\right)$ y $\ln\left(\sqrt{1+x}+\sqrt{x}\right)$
Podemos simplificar la integral $\int\sec\left(\theta \right)^3d\theta$ utilizando la fórmula de reducción: $\displaystyle\int\sec(x)^{n}dx=\frac{\sin(x)\sec(x)^{n-1}}{n-1}+\frac{n-2}{n-1}\int\sec(x)^{n-2}dx$
Simplificamos la expresión dentro de la integral
Expresar la variable $\theta$ términos de la variable original $x$
Reemplazar $u$ por el valor que le fue asignado en la sustitución en un principio: $\sqrt{1+x}$
Restar los valores $1$ y $-1$
Simplificamos la expresión dentro de la integral
La integral de la secante está dada por la fórmula, $\displaystyle\int\sec(x)dx=\ln\left|\sec(x)+\tan(x)\right|$
Expresar la variable $\theta$ términos de la variable original $x$
Reemplazar $u$ por el valor que le fue asignado en la sustitución en un principio: $\sqrt{1+x}$
Restar los valores $1$ y $-1$
La integral $-\int\frac{\sqrt{x}}{2\sqrt{1+x}}dx$ da como resultado: $-\frac{1}{2}\sqrt{x}\sqrt{1+x}+\frac{1}{2}\ln\left(\sqrt{1+x}+\sqrt{x}\right)$
Después de juntar los resultados de todas las integrales individuales, obtenemos
Como la integral que estamos resolviendo es una integral indefinida, al terminar de integrar debemos añadir la constante de integración $C$