Respuesta Final
Solución explicada paso por paso
Especifica el método de resolución
Podemos reconocer que la ecuación diferencial $\frac{dy}{dx}+\frac{-y}{x}=\frac{x}{3y}$ es una ecuación diferencial de Bernoulli ya que se encuentra escrita de la forma $\frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)y^n$, donde $n$ es cualquier número real diferente de $0$ y $1$. Para resolver esta ecuación, podemos aplicar la siguiente sustitución. Definamos una nueva variable $u$ y asignémosle el siguiente valor
Reemplazamos el valor de $n$, que equivale a $-1$
Simplificar
Despejamos la variable dependiente $y$
Derivar ambos lados de la ecuación con respecto a la variable independiente $x$
Ahora, sustituimos $\frac{dy}{dx}=\frac{1}{2}u^{-\frac{1}{2}}\frac{du}{dx}$ y $y=\sqrt{u}$ en la ecuación diferencial original
Simplificar
Necesitamos cancelar el término que esta al frente de $\frac{du}{dx}$. Podemos hacerlo multiplicando toda la ecuación diferencial por $\frac{1}{2}\sqrt{u}$
Multiplicar ambos lados por $\frac{1}{2}\sqrt{u}$
Expandir y simplificar. Ahora, vemos que la ecuación diferencial tiene la forma de una ecuación diferencial lineal, ya que hemos removido el término $y^{-1}$ que estaba multiplicando en la ecuación original
Dividir todos los términos de la ecuación diferencial por $\frac{1}{4}$
Simplificando
Podemos darnos cuenta de que la ecuación diferencial tiene la forma: $\frac{dy}{dx} + P(x)\cdot y(x) = Q(x)$, así que podemos clasificarla en una ecuación diferencial lineal de primer orden, donde $P(x)=\frac{-1}{\frac{1}{2}x}$ y $Q(x)=\frac{\frac{1}{6}x}{\frac{1}{4}}$. Para poder resolver esta ecuación diferencial, el primer paso es encontrar el factor integrante $\mu(x)$
Para encontrar $\mu(x)$, primero necesitamos calcular $\int P(x)dx$
Asi que el factor integrante $\mu(x)$ es
Ahora, multiplicamos todos los términos de la ecuación diferencial por el factor integrante $\mu(x)$ y verificamos si podemos simplificar
Podemos reconocer que el lado izquierdo de la ecuación diferencial consiste en la derivada del producto de $\mu(x)\cdot y(x)$
Integrar ambos lados de la ecuación diferencial con respecto a $dx$
Simplificar el lado izquierdo de la ecuación diferencial
Resolver la integral $\int\frac{2}{3}x^{-1}dx$ y reemplazar el resultado en la ecuación diferencial
Reemplazar $u$ con el valor $y^{2}$
Aplicando la propiedad de la potenciación, $\displaystyle a^{-n}=\frac{1}{a^n}$, donde $n$ es un número
Multiplicar la fracción por el término
Encontrar la solución explícita a la ecuación diferencial. Necesitamos despejar la variable $y$