Solución Paso a paso

Calcular la integral $\int xe^{2x}dx$

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(◻)
+
-
×
◻/◻
/
÷
2

e
π
ln
log
log
lim
d/dx
Dx
|◻|
=
>
<
>=
<=
sin
cos
tan
cot
sec
csc

asin
acos
atan
acot
asec
acsc

sinh
cosh
tanh
coth
sech
csch

asinh
acosh
atanh
acoth
asech
acsch

Respuesta Final

$\frac{1}{2}e^{2x}x-\frac{1}{4}e^{2x}+C_0$

Solución explicada paso por paso

Problema a resolver:

$\int\left(x\cdot e^{2x}\right)dx$

Elige el método de resolución

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Podemos resolver la integral $\int xe^{2x}dx$ aplicando el método de integración por sustitución o cambio de variable. Primero, debemos identificar una sección dentro de la integral con una nueva variable (llamémosla $u$), que al ser sustituida, haga la expresión dentro de la integral más sencilla. Podemos ver que $e^{2x}$ es un buen candidato para ser sustituido. A continuación, definamos la variable $u$ y asignémosle el candidato

$u=e^{2x}$
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Ahora, para poder reescribir $dx$ en términos de $du$, necesitamos encontrar la derivada de $u$. Por lo tanto, necesitamos calcular $du$, podemos hacerlo derivando la ecuación del paso anterior

$du=2e^{2x}dx$
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Despejando $dx$ de la ecuación anterior

$\frac{du}{2e^{2x}}=dx$
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Reescribir $x$ en términos de $u$

$x=\frac{\ln\left(u\right)}{2}$
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Sustituimos $u$, $dx$ y $x$ en la integral y luego simplificamos

$\int\frac{\ln\left(u\right)}{4}du$
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Sacar el término constante $\frac{1}{4}$ de la integral

$\frac{1}{4}\int\ln\left(u\right)du$
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La integral del logaritmo natural está dada por la siguiente fórmula, $\displaystyle\int\ln(x)dx=x\ln(x)-x$

$\frac{1}{4}\left(u\ln\left(u\right)-u\right)$
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Reemplazar $u$ por el valor que le fue asignado en la sustitución en un principio: $e^{2x}$

$\frac{1}{4}\left(e^{2x}\ln\left(e^{2x}\right)-e^{2x}\right)$
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Aplicamos la regla: $\ln\left(e^x\right)$$=x$, donde $x=2x$

$\frac{1}{4}\left(2e^{2x}x-e^{2x}\right)$
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Como la integral que estamos resolviendo es una integral indefinida, al terminar de integrar debemos añadir la constante de integración $C$

$\frac{1}{4}\left(2e^{2x}x-e^{2x}\right)+C_0$
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Resolver el producto $\frac{1}{4}\left(2e^{2x}x-e^{2x}\right)$

$\frac{1}{2}e^{2x}x-\frac{1}{4}e^{2x}+C_0$

Respuesta Final

$\frac{1}{2}e^{2x}x-\frac{1}{4}e^{2x}+C_0$