Respuesta Final
Solución explicada paso por paso
Especifica el método de resolución
Podemos resolver la integral $\int\frac{\sqrt{x^2-25}}{x^3}dx$ mediante el método de integración por sustitución trigonométrica. Tomamos el cambio de variable
Ahora, para poder reescribir $d\theta$ en términos de $dx$, necesitamos encontrar la derivada de $x$. Por lo tanto, necesitamos calcular $dx$, podemos hacerlo derivando la ecuación del paso anterior
Sustituyendo en la integral original, obtenemos
Simplificando
Factoizar el polinomio $25\sec\left(\theta \right)^2-25$ por su máximo común divisor (MCD): $25$
Aplicando la regla de potencia de un producto
Aplicamos la identidad trigonométrica: $\sec\left(\theta \right)^2-1$$=\tan\left(\theta \right)^2$, donde $x=\theta $
Sacar la parte constante ($5$) de la integral
Simplificar $\sqrt{\tan\left(\theta \right)^2}$ aplicando la regla de potencia de una potencia: $\left(a^m\right)^n=a^{m\cdot n}$. En la expresión, $m$ es igual a $2$ y $n$ es igual a $\frac{1}{2}$
Al multiplicar dos potencias de igual base ($\tan\left(\theta \right)$), se pueden sumar los exponentes
Aplicamos la identidad trigonométrica: $\frac{\tan\left(\theta \right)^n}{\sec\left(\theta \right)^n}$$=\sin\left(\theta \right)^n$, donde $x=\theta $ y $n=2$
Sacar el término constante $\frac{1}{25}$ de la integral
Simplificamos la expresión dentro de la integral
Aplicamos la regla: $\int\sin\left(\theta \right)^2dx$$=\frac{\theta }{2}-\frac{1}{4}\sin\left(2\theta \right)+C$, donde $x=\theta $
Expresar la variable $\theta$ términos de la variable original $x$
Aplicando la identidad del seno de doble ángulo: $\sin\left(2\theta\right)=2\sin\left(\theta\right)\cos\left(\theta\right)$
Expresar la variable $\theta$ términos de la variable original $x$
Como la integral que estamos resolviendo es una integral indefinida, al terminar de integrar debemos añadir la constante de integración $C$
Expandir y simplificar