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Calcular el límite $\lim_{x\to0}\left(\frac{1-2\cos\left(x\right)+\cos\left(x\right)^2}{1-\cos\left(x\right)}\right)$

Solución Paso a paso

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×
◻/◻
/
÷
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π
ln
log
log
lim
d/dx
Dx
|◻|
θ
=
>
<
>=
<=
sin
cos
tan
cot
sec
csc

asin
acos
atan
acot
asec
acsc

sinh
cosh
tanh
coth
sech
csch

asinh
acosh
atanh
acoth
asech
acsch

Respuesta Final

0

Solución explicada paso por paso

Especifica el método de resolución

Insertar el valor $0$ en el límite

$\frac{1-2\cos\left(0\right)+\cos\left(0\right)^2}{1-\cos\left(0\right)}$

El coseno de $0$ es $1$

$\frac{1-2+\cos\left(0\right)^2}{1-\cos\left(0\right)}$

Restar los valores $1$ y $-2$

$\frac{-1+\cos\left(0\right)^2}{1-\cos\left(0\right)}$

El coseno de $0$ es $1$

$\frac{-1+1^2}{1-\cos\left(0\right)}$

Calcular la potencia $1^2$

$\frac{-1+1}{1-\cos\left(0\right)}$

Restar los valores $1$ y $-1$

$\frac{0}{1-\cos\left(0\right)}$

El coseno de $0$ es $1$

$\frac{0}{1-1}$

Restar los valores $1$ y $-1$

$\frac{0}{0}$
1

Si directamente evaluamos el límite $\lim_{x\to 0}\left(\frac{1-2\cos\left(x\right)+\cos\left(x\right)^2}{1-\cos\left(x\right)}\right)$ cuando $x$ tiende a $0$, podemos ver que nos da como resultado una forma indeterminada

$\frac{0}{0}$
2

Podemos resolver este límite aplicando la regla de L'Hôpital, la cual consiste en encontrar la derivada tanto del numerador como del denominador por separado

$\lim_{x\to 0}\left(\frac{\frac{d}{dx}\left(1-2\cos\left(x\right)+\cos\left(x\right)^2\right)}{\frac{d}{dx}\left(1-\cos\left(x\right)\right)}\right)$

Encontrar la derivada del numerador

$\frac{d}{dx}\left(1-2\cos\left(x\right)+\cos\left(x\right)^2\right)$

La derivada de la suma de dos o más funciones equivale a la suma de las derivadas de cada función por separado

$\frac{d}{dx}\left(1\right)+\frac{d}{dx}\left(-2\cos\left(x\right)\right)+\frac{d}{dx}\left(\cos\left(x\right)^2\right)$

La derivada de la función constante ($1$) es igual a cero

$\frac{d}{dx}\left(-2\cos\left(x\right)\right)+\frac{d}{dx}\left(\cos\left(x\right)^2\right)$

La derivada de una función multiplicada por una constante ($-2$) es igual a la constante por la derivada de la función

$-2\frac{d}{dx}\left(\cos\left(x\right)\right)+\frac{d}{dx}\left(\cos\left(x\right)^2\right)$

Utilizamos la regla de diferenciación de potencias, la cual dice que si $n$ es un número real y si $f(x) = x^n$, entonces $f'(x) = nx^{n-1}$

$-2\frac{d}{dx}\left(\cos\left(x\right)\right)+2\cos\left(x\right)\frac{d}{dx}\left(\cos\left(x\right)\right)$

La derivada del coseno de una función es igual a menos el seno de la función por la derivada de la función, es decir, si $f(x) = \cos(x)$, entonces $f'(x) = -\sin(x)\cdot D_x(x)$

$2\sin\left(x\right)-2\cos\left(x\right)\sin\left(x\right)$

Simplificar $-2\cos\left(x\right)\sin\left(x\right)$ usando la identidad trigonométrica: $\sin(2x)=2\sin(x)\cos(x)$

$2\sin\left(x\right)-\sin\left(2x\right)$

Encontrar la derivada del denominador

$\frac{d}{dx}\left(1-\cos\left(x\right)\right)$

La derivada de la suma de dos o más funciones equivale a la suma de las derivadas de cada función por separado

$\frac{d}{dx}\left(1\right)+\frac{d}{dx}\left(-\cos\left(x\right)\right)$

La derivada de la función constante ($1$) es igual a cero

$\frac{d}{dx}\left(-\cos\left(x\right)\right)$

La derivada de una función multiplicada por una constante ($-1$) es igual a la constante por la derivada de la función

$-\frac{d}{dx}\left(\cos\left(x\right)\right)$

La derivada del coseno de una función es igual a menos el seno de la función por la derivada de la función, es decir, si $f(x) = \cos(x)$, entonces $f'(x) = -\sin(x)\cdot D_x(x)$

$1\sin\left(x\right)$

Cualquier expresión algebraica multiplicada por uno es igual a esa misma expresión

$\sin\left(x\right)$
3

Después de derivar tanto el numerador como el denominador, el límite resulta en

$\lim_{x\to0}\left(\frac{2\sin\left(x\right)-\sin\left(2x\right)}{\sin\left(x\right)}\right)$

Insertar el valor $0$ en el límite

$\frac{2\sin\left(0\right)-\sin\left(2\cdot 0\right)}{\sin\left(0\right)}$

Multiplicar $2$ por $0$

$\frac{2\sin\left(0\right)-\sin\left(0\right)}{\sin\left(0\right)}$

El seno de $0$ es $0$

$\frac{0-\sin\left(0\right)}{\sin\left(0\right)}$

El seno de $0$ es $0$

$\frac{0+0}{\sin\left(0\right)}$

Sumar los valores $0$ y $0$

$\frac{0}{\sin\left(0\right)}$

El seno de $0$ es $0$

$\frac{0}{0}$
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Si directamente evaluamos el límite $\lim_{x\to 0}\left(\frac{2\sin\left(x\right)-\sin\left(2x\right)}{\sin\left(x\right)}\right)$ cuando $x$ tiende a $0$, podemos ver que nos da como resultado una forma indeterminada

$\frac{0}{0}$
5

Podemos resolver este límite aplicando la regla de L'Hôpital, la cual consiste en encontrar la derivada tanto del numerador como del denominador por separado

$\lim_{x\to 0}\left(\frac{\frac{d}{dx}\left(2\sin\left(x\right)-\sin\left(2x\right)\right)}{\frac{d}{dx}\left(\sin\left(x\right)\right)}\right)$

Encontrar la derivada del numerador

$\frac{d}{dx}\left(2\sin\left(x\right)-\sin\left(2x\right)\right)$

La derivada de la suma de dos o más funciones equivale a la suma de las derivadas de cada función por separado

$\frac{d}{dx}\left(2\sin\left(x\right)\right)+\frac{d}{dx}\left(-\sin\left(2x\right)\right)$

La derivada de una función multiplicada por una constante ($2$) es igual a la constante por la derivada de la función

$2\frac{d}{dx}\left(\sin\left(x\right)\right)+\frac{d}{dx}\left(-\sin\left(2x\right)\right)$

La derivada del seno de una función es igual al coseno de la función por la derivada de la función, en otras palabras, si ${f(x) = \sin(x)}$, entonces ${f'(x) = \cos(x)\cdot D_x(x)}$

$2\cos\left(x\right)+\frac{d}{dx}\left(-\sin\left(2x\right)\right)$

La derivada de una función multiplicada por una constante ($-1$) es igual a la constante por la derivada de la función

$2\cos\left(x\right)-\frac{d}{dx}\left(\sin\left(2x\right)\right)$

La derivada del seno de una función es igual al coseno de la función por la derivada de la función, en otras palabras, si ${f(x) = \sin(x)}$, entonces ${f'(x) = \cos(x)\cdot D_x(x)}$

$2\cos\left(x\right)-\frac{d}{dx}\left(2x\right)\cos\left(2x\right)$

La derivada de una función lineal multiplicada por una constante, es igual a la constante

$2\cos\left(x\right)-2\frac{d}{dx}\left(x\right)\cos\left(2x\right)$

Utilizando la regla de diferenciación de potencias, la derivada de la función lineal es igual a $1$

$2\cos\left(x\right)-2\cos\left(2x\right)$

Encontrar la derivada del denominador

$\frac{d}{dx}\left(\sin\left(x\right)\right)$

La derivada del seno de una función es igual al coseno de la función por la derivada de la función, en otras palabras, si ${f(x) = \sin(x)}$, entonces ${f'(x) = \cos(x)\cdot D_x(x)}$

$\cos\left(x\right)$
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Después de derivar tanto el numerador como el denominador, el límite resulta en

$\lim_{x\to0}\left(\frac{2\cos\left(x\right)-2\cos\left(2x\right)}{\cos\left(x\right)}\right)$
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Evaluar el límite reemplazando todas las ocurrencias de $\lim_{x\to0}\left(\frac{2\cos\left(x\right)-2\cos\left(2x\right)}{\cos\left(x\right)}\right)$ por $x$

$\frac{2\cos\left(0\right)-2\cos\left(2\cdot 0\right)}{\cos\left(0\right)}$
8

Multiplicar $2$ por $0$

$\frac{2\cos\left(0\right)-2\cos\left(0\right)}{\cos\left(0\right)}$
9

El coseno de $0$ es $1$

$\frac{2\cos\left(0\right)-2\cos\left(0\right)}{1}$
10

El coseno de $0$ es $1$

$\frac{2-2\cos\left(0\right)}{1}$
11

El coseno de $0$ es $1$

$\frac{2-2}{1}$
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Restar los valores $2$ y $-2$

$\frac{0}{1}$
13

Dividir $0$ entre $1$

0

Respuesta Final

0

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