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Calcular el límite $\lim_{x\to a}\left(\frac{\sqrt{b^2-x}-\sqrt{b^2-a}}{x-a}\right)$

Solución Paso a paso

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atanh
acoth
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Respuesta Final

$\frac{-1}{2\sqrt{b^2-a}}$
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Solución explicada paso por paso

Especifica el método de resolución

Insertar el valor $a$ en el límite

$\frac{\sqrt{b^2-a}-\sqrt{b^2-a}}{a-a}$

Reduciendo términos semejantes $\sqrt{b^2-a}$ y $-\sqrt{b^2-a}$

$\frac{0}{a-a}$

Reduciendo términos semejantes $a$ y $-a$

$\frac{0}{0}$
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Si directamente evaluamos el límite $\lim_{x\to a}\left(\frac{\sqrt{b^2-x}-\sqrt{b^2-a}}{x-a}\right)$ cuando $x$ tiende a $a$, podemos ver que nos da como resultado una forma indeterminada

$\frac{0}{0}$
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Podemos resolver este límite aplicando la regla de L'Hôpital, la cual consiste en encontrar la derivada tanto del numerador como del denominador por separado

$\lim_{x\to a}\left(\frac{\frac{d}{dx}\left(\sqrt{b^2-x}-\sqrt{b^2-a}\right)}{\frac{d}{dx}\left(x-a\right)}\right)$

Encontrar la derivada del numerador

$\frac{d}{dx}\left(\sqrt{b^2-x}-\sqrt{b^2-a}\right)$

La derivada de la suma de dos o más funciones equivale a la suma de las derivadas de cada función por separado

$\frac{d}{dx}\left(\sqrt{b^2-x}\right)+\frac{d}{dx}\left(-\sqrt{b^2-a}\right)$

La derivada de la función constante ($-\sqrt{b^2-a}$) es igual a cero

$\frac{d}{dx}\left(\sqrt{b^2-x}\right)$

Utilizamos la regla de diferenciación de potencias, la cual dice que si $n$ es un número real y si $f(x) = x^n$, entonces $f'(x) = nx^{n-1}$

$\frac{1}{2}\left(b^2-x\right)^{-\frac{1}{2}}\frac{d}{dx}\left(b^2-x\right)$

La derivada de la suma de dos o más funciones equivale a la suma de las derivadas de cada función por separado

$\frac{1}{2}\left(b^2-x\right)^{-\frac{1}{2}}\left(\frac{d}{dx}\left(b^2\right)+\frac{d}{dx}\left(-x\right)\right)$

La derivada de la función constante ($b^2$) es igual a cero

$\frac{1}{2}\left(b^2-x\right)^{-\frac{1}{2}}\frac{d}{dx}\left(-x\right)$

La derivada de una función lineal multiplicada por una constante, es igual a la constante

$-\frac{1}{2}\left(b^2-x\right)^{-\frac{1}{2}}\frac{d}{dx}\left(x\right)$

Utilizando la regla de diferenciación de potencias, la derivada de la función lineal es igual a $1$

$-\frac{1}{2}\left(b^2-x\right)^{-\frac{1}{2}}$

Encontrar la derivada del denominador

$\frac{d}{dx}\left(x-a\right)$

La derivada de la suma de dos o más funciones equivale a la suma de las derivadas de cada función por separado

$\frac{d}{dx}\left(x\right)+\frac{d}{dx}\left(-a\right)$

La derivada de la función constante ($-a$) es igual a cero

$\frac{d}{dx}\left(x\right)$

Utilizando la regla de diferenciación de potencias, la derivada de la función lineal es igual a $1$

$1$

Cualquier expresión matemática dividida por uno ($1$) es igual a esa misma expresión

$\lim_{x\to a}\left(-\frac{1}{2}\left(b^2-x\right)^{-\frac{1}{2}}\right)$
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Después de derivar tanto el numerador como el denominador, el límite resulta en

$\lim_{x\to a}\left(-\frac{1}{2}\left(b^2-x\right)^{-\frac{1}{2}}\right)$
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Si tenemos una constante dentro del límite que estamos calculando, podemos sacarla del límite: $\displaystyle \lim_{t\to 0}{\left(at\right)}=a\cdot\lim_{t\to 0}{\left(t\right)}$

$-\frac{1}{2}\lim_{x\to a}\left(\left(b^2-x\right)^{-\frac{1}{2}}\right)$
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Aplicando la propiedad de la potenciación, $\displaystyle a^{-n}=\frac{1}{a^n}$, donde $n$ es un número

$-\frac{1}{2}\lim_{x\to a}\left(\frac{1}{\sqrt{b^2-x}}\right)$
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Evaluar el límite reemplazando todas las ocurrencias de $\lim_{x\to a}\left(\frac{1}{\sqrt{b^2-x}}\right)$ por $x$

$-\frac{1}{2}\left(\frac{1}{\sqrt{b^2-a}}\right)$

Simplificar $-\frac{1}{2}\left(\frac{1}{\sqrt{b^2-a}}\right)$

$\frac{-1\cdot 1}{2\sqrt{b^2-a}}$

Cualquier expresión algebraica multiplicada por uno es igual a esa misma expresión

$\frac{-1}{2\sqrt{b^2-a}}$
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Simplificar $-\frac{1}{2}\left(\frac{1}{\sqrt{b^2-a}}\right)$

$\frac{-1}{2\sqrt{b^2-a}}$

Respuesta Final

$\frac{-1}{2\sqrt{b^2-a}}$

Explora distintas formas de resolver este problema

Resolver un ejercicio matemático utilizando diferentes métodos es importante porque mejora la comprensión, fomenta el pensamiento crítico, permite múltiples soluciones y desarrolla distintas estrategias de resolución de problemas. Leer más

Límites por Sustitución DirectaLímites por regla de l'HôpitalLímites por FactorizaciónLímites por Racionalización

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Gráfico de la Función

Gráfico de: $\frac{-1}{2\sqrt{b^2-a}}$

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Tema Principal: Límites por Sustitución Directa

Encontrar el límite de funciones en un punto específico al reemplazar directamente el valor en la función.

Fórmulas Usadas

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