Respuesta Final
Solución explicada paso por paso
Especifica el método de resolución
Insertar el valor $a$ en el límite
Reduciendo términos semejantes $\sqrt{b^2-a}$ y $-\sqrt{b^2-a}$
Reduciendo términos semejantes $a$ y $-a$
Si directamente evaluamos el límite $\lim_{x\to a}\left(\frac{\sqrt{b^2-x}-\sqrt{b^2-a}}{x-a}\right)$ cuando $x$ tiende a $a$, podemos ver que nos da como resultado una forma indeterminada
Podemos resolver este límite aplicando la regla de L'Hôpital, la cual consiste en encontrar la derivada tanto del numerador como del denominador por separado
Encontrar la derivada del numerador
La derivada de la suma de dos o más funciones equivale a la suma de las derivadas de cada función por separado
La derivada de la función constante ($-\sqrt{b^2-a}$) es igual a cero
Utilizamos la regla de diferenciación de potencias, la cual dice que si $n$ es un número real y si $f(x) = x^n$, entonces $f'(x) = nx^{n-1}$
La derivada de la suma de dos o más funciones equivale a la suma de las derivadas de cada función por separado
La derivada de la función constante ($b^2$) es igual a cero
La derivada de una función lineal multiplicada por una constante, es igual a la constante
Utilizando la regla de diferenciación de potencias, la derivada de la función lineal es igual a $1$
Encontrar la derivada del denominador
La derivada de la suma de dos o más funciones equivale a la suma de las derivadas de cada función por separado
La derivada de la función constante ($-a$) es igual a cero
Utilizando la regla de diferenciación de potencias, la derivada de la función lineal es igual a $1$
Cualquier expresión matemática dividida por uno ($1$) es igual a esa misma expresión
Después de derivar tanto el numerador como el denominador, el límite resulta en
Si tenemos una constante dentro del límite que estamos calculando, podemos sacarla del límite: $\displaystyle \lim_{t\to 0}{\left(at\right)}=a\cdot\lim_{t\to 0}{\left(t\right)}$
Aplicando la propiedad de la potenciación, $\displaystyle a^{-n}=\frac{1}{a^n}$, donde $n$ es un número
Evaluar el límite reemplazando todas las ocurrencias de $\lim_{x\to a}\left(\frac{1}{\sqrt{b^2-x}}\right)$ por $x$
Simplificar $-\frac{1}{2}\left(\frac{1}{\sqrt{b^2-a}}\right)$
Cualquier expresión algebraica multiplicada por uno es igual a esa misma expresión
Simplificar $-\frac{1}{2}\left(\frac{1}{\sqrt{b^2-a}}\right)$