Respuesta Final
Solución explicada paso por paso
Especifica el método de resolución
Aplicar la propiedad del producto de dos potencias de igual base de manera inversa: $a^{m+n}=a^m\cdot a^n$
Agrupar los términos de la ecuación diferencial. Mover los términos de la variable $y$ al lado izquierdo, y los términos de la variable $x$ al lado derecho de la igualdad
Integramos ambos lados de la ecuación diferencial, el lado izquierdo con respecto a $y$, y el lado derecho con respecto a $x$
Podemos resolver la integral $\int\frac{1}{e^{2y}}dy$ aplicando el método de integración por sustitución o cambio de variable. Primero, debemos identificar una sección dentro de la integral con una nueva variable (llamémosla $u$), que al ser sustituida, haga la expresión dentro de la integral más sencilla. Podemos ver que $2y$ es un buen candidato para ser sustituido. A continuación, definamos la variable $u$ y asignémosle el candidato
Ahora, para poder reescribir $dy$ en términos de $du$, necesitamos encontrar la derivada de $u$. Por lo tanto, necesitamos calcular $du$, podemos hacerlo derivando la ecuación del paso anterior
Despejando $dy$ de la ecuación anterior
Sustituimos $u$ y $dy$ en la integral y luego simplificamos
Aplicamos la regla: $\int\frac{1}{e^x}dx$$=-\frac{1}{e^x}+C$, donde $x=u$
Simplificar $-\frac{1}{2}\left(\frac{1}{e^u}\right)$
Reemplazar $u$ por el valor que le fue asignado en la sustitución en un principio: $2y$
Resolver la integral $\int\frac{1}{e^{2y}}dy$ y reemplazar el resultado en la ecuación diferencial
Podemos resolver la integral $\int e^{3x}dx$ aplicando el método de integración por sustitución o cambio de variable. Primero, debemos identificar una sección dentro de la integral con una nueva variable (llamémosla $u$), que al ser sustituida, haga la expresión dentro de la integral más sencilla. Podemos ver que $3x$ es un buen candidato para ser sustituido. A continuación, definamos la variable $u$ y asignémosle el candidato
Ahora, para poder reescribir $dx$ en términos de $du$, necesitamos encontrar la derivada de $u$. Por lo tanto, necesitamos calcular $du$, podemos hacerlo derivando la ecuación del paso anterior
Despejando $dx$ de la ecuación anterior
Sustituimos $u$ y $dx$ en la integral y luego simplificamos
Sacar el término constante $\frac{1}{3}$ de la integral
Dividir $1$ entre $3$
La integral de la función exponencial se resuelve aplicando la fórmula $\displaystyle \int a^xdx=\frac{a^x}{\ln(a)}$, donde $a > 0$ y $a \neq 1$
Reemplazar $u$ por el valor que le fue asignado en la sustitución en un principio: $3x$
Como la integral que estamos resolviendo es una integral indefinida, al terminar de integrar debemos añadir la constante de integración $C$
Resolver la integral $\int e^{3x}dx$ y reemplazar el resultado en la ecuación diferencial
Tomar el recíproco de ambos lados de la ecuación
Subir el $-1$ del denominador
Dividir ambos lados de la ecuación por $-2$
Sacar el $\frac{-2}{-2}$ de la fracción
Simplificar $-2\left(\frac{1}{3}e^{3x}+C_0\right)$ usando álgebra
Multiplicar $-2$ por $\frac{1}{3}$
Podemos sacar la incógnita del exponente aplicando logaritmo natural a ambos lados de la ecuación
Aplicamos la regla: $\ln\left(e^x\right)$$=x$, donde $x=2y$
Simplificar el logaritmo $\ln\left(\frac{1}{-\frac{2}{3}e^{3x}+C_1}\right)$
Dividir ambos lados de la ecuación por $2$
Simplificando las divisiones
Encontrar la solución explícita a la ecuación diferencial. Necesitamos despejar la variable $y$