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Calcular la integral de logaritmos $\int\ln\left(\sqrt{x}+\sqrt{1+x}\right)dx$

Solución Paso a paso

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acot
asec
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tanh
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asinh
acosh
atanh
acoth
asech
acsch

Respuesta Final

$x\ln\left(\sqrt{x}+\sqrt{1+x}\right)+\frac{1}{2}\ln\left(\sqrt{1+x}+\sqrt{x}\right)-\frac{1}{2}\sqrt{x}\sqrt{1+x}+C_0$
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Solución explicada paso por paso

Problema a resolver:

$\int\ln\left(\sqrt{x}+\sqrt{1+x}\right)dx$

Elige el método de resolución

1

Podemos resolver la integral $\int\ln\left(\sqrt{x}+\sqrt{1+x}\right)dx$ aplicando el método de integración por partes para calcular la integral del producto de dos funciones, mediante la siguiente fórmula

$\displaystyle\int u\cdot dv=u\cdot v-\int v \cdot du$

La derivada del logaritmo natural es igual a la derivada de la función dividida por la función. Si $f(x)=ln\:a$ (donde $a$ está en función de $x$), entonces $\displaystyle f'(x)=\frac{a'}{a}$

$\frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{1+x}}\frac{d}{dx}\left(\sqrt{x}+\sqrt{1+x}\right)$

La derivada de la suma de dos o más funciones equivale a la suma de las derivadas de cada función por separado

$\frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{1+x}}\left(\frac{d}{dx}\left(\sqrt{x}\right)+\frac{d}{dx}\left(\sqrt{1+x}\right)\right)$

Utilizamos la regla de diferenciación de potencias, la cual dice que si $n$ es un número real y si $f(x) = x^n$, entonces $f'(x) = nx^{n-1}$

$\frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{1+x}}\left(\frac{d}{dx}\left(\sqrt{x}\right)+\frac{1}{2}\left(1+x\right)^{-\frac{1}{2}}\frac{d}{dx}\left(1+x\right)\right)$

Utilizamos la regla de diferenciación de potencias, la cual dice que si $n$ es un número real y si $f(x) = x^n$, entonces $f'(x) = nx^{n-1}$

$\frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{1+x}}\left(\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}+\frac{1}{2}\left(1+x\right)^{-\frac{1}{2}}\frac{d}{dx}\left(1+x\right)\right)$

La derivada de la suma de dos o más funciones equivale a la suma de las derivadas de cada función por separado

$\frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{1+x}}\left(\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}+\frac{1}{2}\left(1+x\right)^{-\frac{1}{2}}\left(\frac{d}{dx}\left(1\right)+\frac{d}{dx}\left(x\right)\right)\right)$

La derivada de la función constante ($1$) es igual a cero

$\frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{1+x}}\left(\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}+\frac{1}{2}\left(1+x\right)^{-\frac{1}{2}}\frac{d}{dx}\left(x\right)\right)$

Utilizando la regla de diferenciación de potencias, la derivada de la función lineal es $1$

$\frac{\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}+\frac{1}{2}\left(1+x\right)^{-\frac{1}{2}}}{\sqrt{x}+\sqrt{1+x}}$

Aplicando la propiedad de la potenciación, $\displaystyle a^{-n}=\frac{1}{a^n}$, donde $n$ es un número

$\frac{\frac{1}{2\sqrt{x}}+\frac{1}{2}\left(1+x\right)^{-\frac{1}{2}}}{\sqrt{x}+\sqrt{1+x}}$

Aplicando la propiedad de la potenciación, $\displaystyle a^{-n}=\frac{1}{a^n}$, donde $n$ es un número

$\frac{\frac{1}{2\sqrt{x}}+\frac{1}{2\sqrt{1+x}}}{\sqrt{x}+\sqrt{1+x}}$

Combinar fracciones con distinto denominador usando la fórmula: : $\displaystyle\frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{a\cdot d + b\cdot c}{b\cdot d}$

$\frac{2\sqrt{1+x}+2\sqrt{x}}{4\sqrt{x}\sqrt{1+x}\left(\sqrt{x}+\sqrt{1+x}\right)}$

Factoizar el polinomio $2\sqrt{1+x}+2\sqrt{x}$ por su GCF: $2$

$\frac{2\left(\sqrt{1+x}+\sqrt{x}\right)}{4\sqrt{x}\sqrt{1+x}\left(\sqrt{x}+\sqrt{1+x}\right)}$

Simplificar la fracción $\frac{2\left(\sqrt{1+x}+\sqrt{x}\right)}{4\sqrt{x}\sqrt{1+x}\left(\sqrt{x}+\sqrt{1+x}\right)}$ por $\sqrt{1+x}+\sqrt{x}$

$\frac{2}{4\sqrt{x}\sqrt{1+x}}$

Cancelar el factor común $2$ de la fracción

$\frac{1}{2\sqrt{x}\sqrt{1+x}}$
2

Primero, identificamos $u$ y calculamos $du$

$\begin{matrix}\displaystyle{u=\ln\left(\sqrt{x}+\sqrt{1+x}\right)}\\ \displaystyle{du=\frac{1}{2\sqrt{x}\sqrt{1+x}}dx}\end{matrix}$
3

Luego, identificamos $dv$ y calculamos $v$

$\begin{matrix}\displaystyle{dv=1dx}\\ \displaystyle{\int dv=\int 1dx}\end{matrix}$
4

Calcular la integral

$v=\int1dx$

La integral de una constante es igual a la constante multiplicada por la variable de integración

$1x$

Cualquier expresión algebraica multiplicada por uno es igual a esa misma expresión

$x$
5

La integral de una constante es igual a la constante multiplicada por la variable de integración

$x$

Simplificar la fracción por $x$

$x\ln\left(\sqrt{x}+\sqrt{1+x}\right)-\int\frac{\sqrt{x}}{2\sqrt{1+x}}dx$
6

Con los valores obtenidos, sustituimos $u$, $du$ y $v$ en la fórmula general

$x\ln\left(\sqrt{x}+\sqrt{1+x}\right)-\int\frac{\sqrt{x}}{2\sqrt{1+x}}dx$

Sacar el término constante $\frac{1}{2}$ de la integral

$-\frac{1}{2}\int\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{1+x}}dx$

Podemos resolver la integral $\int\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{1+x}}dx$ aplicando el método de integración por sustitución o cambio de variable. Primero, debemos identificar una sección dentro de la integral con una nueva variable (llamémosla $u$), que al ser sustituida, haga la expresión dentro de la integral más sencilla. Podemos ver que $\sqrt{1+x}$ es un buen candidato para ser sustituido. A continuación, definamos la variable $u$ y asignémosle el candidato

$u=\sqrt{1+x}$

Ahora, para poder reescribir $dx$ en términos de $du$, necesitamos encontrar la derivada de $u$. Por lo tanto, necesitamos calcular $du$, podemos hacerlo derivando la ecuación del paso anterior

$du=\frac{1}{2}\left(1+x\right)^{-\frac{1}{2}}dx$

Despejando $dx$ de la ecuación anterior

$\frac{du}{\frac{1}{2}\left(1+x\right)^{-\frac{1}{2}}}=dx$

Reescribir $x$ en términos de $u$

$x=u^{2}-1$

Sustituimos $u$, $dx$ y $x$ en la integral y luego simplificamos

$-\frac{1}{2}\int2\sqrt{u^{2}-1}du$

La integral de una función multiplicada por una constante ($2$) es igual a la constante multiplicada por la integral de la función

$-\int\sqrt{u^{2}-1}du$

Podemos resolver la integral $-\int\sqrt{u^{2}-1}du$ mediante el método de integración por sustitución trigonométrica. Tomamos el cambio de variable

$u=\sec\left(\theta \right)$

Ahora, para poder reescribir $d\theta$ en términos de $du$, necesitamos encontrar la derivada de $u$. Por lo tanto, necesitamos calcular $du$, podemos hacerlo derivando la ecuación del paso anterior

$du=\sec\left(\theta \right)\tan\left(\theta \right)d\theta$

Sustituyendo en la integral original, obtenemos

$-\int\sqrt{\sec\left(\theta \right)^{2}-1}\sec\left(\theta \right)\tan\left(\theta \right)d\theta$

Apply the trigonometric identity: $\sec\left(x\right)^2-1$$=\tan\left(x\right)^2$, where $x=\theta $

$-\int\tan\left(\theta \right)^2\sec\left(\theta \right)d\theta$

Podemos identificar que la integral es de la forma $\int\tan^m(x)\sec^n(x)dx$. Si la potencia $n$ es impar y $m$ es par, entonces debemos expresar todas las funciones en términos de secantes, expandir e integrar por separado

$-\int\left(\sec\left(\theta \right)^2-1\right)\sec\left(\theta \right)d\theta$

Reescribir el integrando $\left(\sec\left(\theta \right)^2-1\right)\sec\left(\theta \right)$ en forma expandida

$-\int\left(\sec\left(\theta \right)^{3}-\sec\left(\theta \right)\right)d\theta$

Expandir la integral $\int\left(\sec\left(\theta \right)^{3}-\sec\left(\theta \right)\right)d\theta$ en $2$ integrales usando la regla de la integral de una suma de funciones, para luego resolver cada integral por separado

$-\int\sec\left(\theta \right)^{3}d\theta-\int-\sec\left(\theta \right)d\theta$

La integral de una función multiplicada por una constante ($-1$) es igual a la constante multiplicada por la integral de la función

$-\int\sec\left(\theta \right)^{3}d\theta+\int\sec\left(\theta \right)d\theta$

La integral de la secante está dada por la fórmula, $\displaystyle\int\sec(x)dx=\ln\left|\sec(x)+\tan(x)\right|$

$-\int\sec\left(\theta \right)^{3}d\theta+\ln\left(\sec\left(\theta \right)+\tan\left(\theta \right)\right)$

Reescribir $\sec\left(\theta \right)^{3}$ como el producto de dos secantes

$-\int\sec\left(\theta \right)^2\sec\left(\theta \right)d\theta+\ln\left(\sec\left(\theta \right)+\tan\left(\theta \right)\right)$

Podemos resolver la integral $\int\sec\left(\theta \right)^2\sec\left(\theta \right)d\theta$ aplicando el método de integración por partes para calcular la integral del producto de dos funciones, mediante la siguiente fórmula

$\displaystyle\int u\cdot dv=u\cdot v-\int v \cdot du$

Primero, identificamos $u$ y calculamos $du$

$\begin{matrix}\displaystyle{u=\sec\left(\theta \right)}\\ \displaystyle{du=\sec\left(\theta \right)\tan\left(\theta \right)d\theta}\end{matrix}$

Luego, identificamos $dv$ y calculamos $v$

$\begin{matrix}\displaystyle{dv=\sec\left(\theta \right)^2d\theta}\\ \displaystyle{\int dv=\int \sec\left(\theta \right)^2d\theta}\end{matrix}$

Calcular la integral

$v=\int\sec\left(\theta \right)^2d\theta$

La integral de $\sec(x)^2$ es $\tan(x)$

$\tan\left(\theta \right)$

Con los valores obtenidos, sustituimos $u$, $du$ y $v$ en la fórmula general

$-\left(\tan\left(\theta \right)\sec\left(\theta \right)-\int\tan\left(\theta \right)^2\sec\left(\theta \right)d\theta\right)+\ln\left(\sec\left(\theta \right)+\tan\left(\theta \right)\right)$

Multiplicar el término $-1$ por cada término del polinomio $\left(\tan\left(\theta \right)\sec\left(\theta \right)-\int\tan\left(\theta \right)^2\sec\left(\theta \right)d\theta\right)$

$-\tan\left(\theta \right)\sec\left(\theta \right)+\int\tan\left(\theta \right)^2\sec\left(\theta \right)d\theta+\ln\left(\sec\left(\theta \right)+\tan\left(\theta \right)\right)$

Aplicamos la regla: $\int\sec\left(x\right)\tan\left(x\right)^2dx$$=\int\sec\left(x\right)^3dx-\int\sec\left(x\right)dx$, donde $x=\theta $

$-\tan\left(\theta \right)\sec\left(\theta \right)+\int\sec\left(\theta \right)^3d\theta-\int\sec\left(\theta \right)d\theta+\ln\left(\sec\left(\theta \right)+\tan\left(\theta \right)\right)$

La integral de la secante está dada por la fórmula, $\displaystyle\int\sec(x)dx=\ln\left|\sec(x)+\tan(x)\right|$

$-\tan\left(\theta \right)\sec\left(\theta \right)+\int\sec\left(\theta \right)^3d\theta-\ln\left(\sec\left(\theta \right)+\tan\left(\theta \right)\right)+\ln\left(\sec\left(\theta \right)+\tan\left(\theta \right)\right)$

Reduciendo términos semejantes $-\ln\left(\sec\left(\theta \right)+\tan\left(\theta \right)\right)$ y $\ln\left(\sec\left(\theta \right)+\tan\left(\theta \right)\right)$

$-\tan\left(\theta \right)\sec\left(\theta \right)+\int\sec\left(\theta \right)^3d\theta$

Podemos simplificar la integral $\int\sec\left(\theta \right)^3d\theta$ utilizando la fórmula de reducción: $\displaystyle\int\sec(x)^{n}dx=\frac{\sin(x)\sec(x)^{n-1}}{n-1}+\frac{n-2}{n-1}\int\sec(x)^{n-2}dx$

$-\tan\left(\theta \right)\sec\left(\theta \right)+\frac{\sin\left(\theta \right)\sec\left(\theta \right)^{2}}{2}+\frac{1}{2}\int\sec\left(\theta \right)d\theta$

Simplificando

$-\frac{1}{2}\tan\left(\theta \right)\sec\left(\theta \right)+\frac{1}{2}\int\sec\left(\theta \right)d\theta$

La integral de la secante está dada por la fórmula, $\displaystyle\int\sec(x)dx=\ln\left|\sec(x)+\tan(x)\right|$

$-\frac{1}{2}\tan\left(\theta \right)\sec\left(\theta \right)+\frac{1}{2}\ln\left(\sec\left(\theta \right)+\tan\left(\theta \right)\right)$

Expresar la variable $\theta$ términos de la variable original $x$

$-\frac{1}{2}u\sqrt{u^{2}-1}+\frac{1}{2}\ln\left(u+\sqrt{u^{2}-1}\right)$

Reemplazar $u$ por el valor que le fue asignado en la sustitución en un principio: $\sqrt{1+x}$

$-\frac{1}{2}\sqrt{x}\sqrt{1+x}+\frac{1}{2}\ln\left(\sqrt{1+x}+\sqrt{x}\right)$
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La integral $-\int\frac{\sqrt{x}}{2\sqrt{1+x}}dx$ da como resultado: $-\frac{1}{2}\sqrt{x}\sqrt{1+x}+\frac{1}{2}\ln\left(\sqrt{1+x}+\sqrt{x}\right)$

$-\frac{1}{2}\sqrt{x}\sqrt{1+x}+\frac{1}{2}\ln\left(\sqrt{1+x}+\sqrt{x}\right)$
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Después de juntar los resultados de todas las integrales individuales, obtenemos

$x\ln\left(\sqrt{x}+\sqrt{1+x}\right)+\frac{1}{2}\ln\left(\sqrt{1+x}+\sqrt{x}\right)-\frac{1}{2}\sqrt{x}\sqrt{1+x}$
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Como la integral que estamos resolviendo es una integral indefinida, al terminar de integrar debemos añadir la constante de integración $C$

$x\ln\left(\sqrt{x}+\sqrt{1+x}\right)+\frac{1}{2}\ln\left(\sqrt{1+x}+\sqrt{x}\right)-\frac{1}{2}\sqrt{x}\sqrt{1+x}+C_0$

Respuesta Final

$x\ln\left(\sqrt{x}+\sqrt{1+x}\right)+\frac{1}{2}\ln\left(\sqrt{1+x}+\sqrt{x}\right)-\frac{1}{2}\sqrt{x}\sqrt{1+x}+C_0$
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