Respuesta Final
$x\ln\left(\sqrt{x}+\sqrt{1+x}\right)+\frac{1}{2}\ln\left(\sqrt{1+x}+\sqrt{x}\right)-\frac{1}{2}\sqrt{x}\sqrt{1+x}+C_0$
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1
Podemos resolver la integral $\int\ln\left(\sqrt{x}+\sqrt{1+x}\right)dx$ aplicando el método de integración por partes para calcular la integral del producto de dos funciones, mediante la siguiente fórmula
$\displaystyle\int u\cdot dv=u\cdot v-\int v \cdot du$
Pasos intermedios
2
Primero, identificamos $u$ y calculamos $du$
$\begin{matrix}\displaystyle{u=\ln\left(\sqrt{x}+\sqrt{1+x}\right)}\\ \displaystyle{du=\frac{1}{2\sqrt{x}\sqrt{1+x}}dx}\end{matrix}$
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3
Luego, identificamos $dv$ y calculamos $v$
$\begin{matrix}\displaystyle{dv=1dx}\\ \displaystyle{\int dv=\int 1dx}\end{matrix}$
5
La integral de una constante es igual a la constante multiplicada por la variable de integración
$x$
Pasos intermedios
6
Con los valores obtenidos, sustituimos $u$, $du$ y $v$ en la fórmula general
$x\ln\left(\sqrt{x}+\sqrt{1+x}\right)-\int\frac{\sqrt{x}}{2\sqrt{1+x}}dx$
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Pasos intermedios
7
La integral $-\int\frac{\sqrt{x}}{2\sqrt{1+x}}dx$ da como resultado: $-\frac{1}{2}\sqrt{x}\sqrt{1+x}+\frac{1}{2}\ln\left(\sqrt{1+x}+\sqrt{x}\right)$
$-\frac{1}{2}\sqrt{x}\sqrt{1+x}+\frac{1}{2}\ln\left(\sqrt{1+x}+\sqrt{x}\right)$
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8
Después de juntar los resultados de todas las integrales individuales, obtenemos
$x\ln\left(\sqrt{x}+\sqrt{1+x}\right)+\frac{1}{2}\ln\left(\sqrt{1+x}+\sqrt{x}\right)-\frac{1}{2}\sqrt{x}\sqrt{1+x}$
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Como la integral que estamos resolviendo es una integral indefinida, al terminar de integrar debemos añadir la constante de integración $C$
$x\ln\left(\sqrt{x}+\sqrt{1+x}\right)+\frac{1}{2}\ln\left(\sqrt{1+x}+\sqrt{x}\right)-\frac{1}{2}\sqrt{x}\sqrt{1+x}+C_0$
Respuesta Final$x\ln\left(\sqrt{x}+\sqrt{1+x}\right)+\frac{1}{2}\ln\left(\sqrt{1+x}+\sqrt{x}\right)-\frac{1}{2}\sqrt{x}\sqrt{1+x}+C_0$