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Calcular la integral $\int\frac{x^5-x^4-3x+5}{x^4-2x^3+2x^2-2x+1}dx$

Solución Paso a paso

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acosh
atanh
acoth
asech
acsch

Respuesta Final

$\frac{1}{2}x^2+x-2\ln\left(x-1\right)+\ln\left(x^{2}+1\right)+\arctan\left(x\right)+\frac{-1}{x-1}+C_0$
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Solución explicada paso por paso

Problema a resolver:

$\int\frac{x^5-x^4-3x+5}{x^4-2x^3+2x^2-2x+1}dx$

Elige el método de resolución

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Realizamos la división de polinomios, $x^5-x^4-3x+5$ entre $x^4-2x^3+2x^2-2x+1$

$\begin{array}{l}\phantom{\phantom{;}x^{4}-2x^{3}+2x^{2}-2x\phantom{;}+1;}{\phantom{;}x\phantom{;}+1\phantom{;}\phantom{;}}\\\phantom{;}x^{4}-2x^{3}+2x^{2}-2x\phantom{;}+1\overline{\smash{)}\phantom{;}x^{5}-x^{4}\phantom{-;x^n}\phantom{-;x^n}-3x\phantom{;}+5\phantom{;}\phantom{;}}\\\phantom{\phantom{;}x^{4}-2x^{3}+2x^{2}-2x\phantom{;}+1;}\underline{-x^{5}+2x^{4}-2x^{3}+2x^{2}-x\phantom{;}\phantom{-;x^n}}\\\phantom{-x^{5}+2x^{4}-2x^{3}+2x^{2}-x\phantom{;};}\phantom{;}x^{4}-2x^{3}+2x^{2}-4x\phantom{;}+5\phantom{;}\phantom{;}\\\phantom{\phantom{;}x^{4}-2x^{3}+2x^{2}-2x\phantom{;}+1-;x^n;}\underline{-x^{4}+2x^{3}-2x^{2}+2x\phantom{;}-1\phantom{;}\phantom{;}}\\\phantom{;-x^{4}+2x^{3}-2x^{2}+2x\phantom{;}-1\phantom{;}\phantom{;}-;x^n;}-2x\phantom{;}+4\phantom{;}\phantom{;}\\\end{array}$
2

Polinomio resultado de la división

$\int\left(x+1+\frac{-2x+4}{x^4-2x^3+2x^2-2x+1}\right)dx$
3

Expandir la integral $\int\left(x+1+\frac{-2x+4}{x^4-2x^3+2x^2-2x+1}\right)dx$ en $3$ integrales usando la regla de la integral de una suma de funciones, para luego resolver cada integral por separado

$\int xdx+\int1dx+\int\frac{-2x+4}{x^4-2x^3+2x^2-2x+1}dx$

La integral de una potencia está dada por la siguiente fórmula, $\displaystyle\int x^n dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}$, donde $n$ representa a un número o función constante, en este caso $n=1$

$\frac{1}{2}x^2$
4

La integral $\int xdx$ da como resultado: $\frac{1}{2}x^2$

$\frac{1}{2}x^2$

La integral de una constante es igual a la constante multiplicada por la variable de integración

$x$
5

La integral $\int1dx$ da como resultado: $x$

$x$

Reescribir la expresión $\frac{-2x+4}{x^4-2x^3+2x^2-2x+1}$ que está dentro de la integral en forma factorizada

$\int\frac{-2x+4}{\left(x-1\right)^2\left(x^{2}+1\right)}dx$

Utilizar el método de descomposición en fracciones parciales para descomponer la fracción $\frac{-2x+4}{\left(x-1\right)^2\left(x^{2}+1\right)}$ en $3$ fracciones más simples

$\frac{-2x+4}{\left(x-1\right)^2\left(x^{2}+1\right)}=\frac{A}{\left(x-1\right)^2}+\frac{Bx+C}{x^{2}+1}+\frac{D}{x-1}$

Necesitamos encontrar los valores de los coeficientes $A, B, C, D$ para que se cumpla la igualdad. El primer paso es deshacernos del denominador multiplicando ambos lados de la ecuación del paso anterior por $\left(x-1\right)^2\left(x^{2}+1\right)$

$-2x+4=\left(x-1\right)^2\left(x^{2}+1\right)\left(\frac{A}{\left(x-1\right)^2}+\frac{Bx+C}{x^{2}+1}+\frac{D}{x-1}\right)$

Multiplicando polinomios

$-2x+4=\frac{A\left(x-1\right)^2\left(x^{2}+1\right)}{\left(x-1\right)^2}+\frac{\left(x-1\right)^2\left(x^{2}+1\right)\left(Bx+C\right)}{x^{2}+1}+\frac{D\left(x-1\right)^2\left(x^{2}+1\right)}{x-1}$

Simplificando

$-2x+4=A\left(x^{2}+1\right)+\left(x-1\right)^2\left(Bx+C\right)+D\left(x-1\right)\left(x^{2}+1\right)$

Expandir el polinomio

$-2x+4=Ax^{2}+A+\left(x-1\right)^2\left(Bx+C\right)+x^{2}Dx-x^{2}D+Dx-D$

Asignando valores a $x$ obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones

$\begin{matrix}2=2A&\:\:\:\:\:\:\:(x=1) \\ 6=-4D+2A-4B+4C&\:\:\:\:\:\:\:(x=-1) \\ 0=5A+2B+C+5D&\:\:\:\:\:\:\:(x=2) \\ 8=5A-18B+9C-15D&\:\:\:\:\:\:\:(x=-2)\end{matrix}$

Procedemos a resolver el sistema de ecuaciones lineales

$\begin{matrix}2A & + & 0B & + & 0C & + & 0D & =2 \\ 2A & - & 4B & + & 4C & - & 4D & =6 \\ 5A & + & 2B & + & 1C & + & 5D & =0 \\ 5A & - & 18B & + & 9C & - & 15D & =8\end{matrix}$

Reescribimos los coeficientes en forma de matriz

$\left(\begin{matrix}2 & 0 & 0 & 0 & 2 \\ 2 & -4 & 4 & -4 & 6 \\ 5 & 2 & 1 & 5 & 0 \\ 5 & -18 & 9 & -15 & 8\end{matrix}\right)$

Reducimos la matriz original a una matriz identidad utilizando el método de eliminación de Gauss-Jordan

$\left(\begin{matrix}1 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2\end{matrix}\right)$

La integral de $\frac{-2x+4}{\left(x-1\right)^2\left(x^{2}+1\right)}$ en forma descompuesta equivale a

$\int\left(\frac{1}{\left(x-1\right)^2}+\frac{2x+1}{x^{2}+1}+\frac{-2}{x-1}\right)dx$

Expandir la integral $\int\left(\frac{1}{\left(x-1\right)^2}+\frac{2x+1}{x^{2}+1}+\frac{-2}{x-1}\right)dx$ en $3$ integrales usando la regla de la integral de una suma de funciones, para luego resolver cada integral por separado

$\int\frac{1}{\left(x-1\right)^2}dx+\int\frac{2x+1}{x^{2}+1}dx+\int\frac{-2}{x-1}dx$

Aplicamos la regla: $\int\frac{n}{x+b}dx$$=n\ln\left(x+b\right)$, donde $b=-1$ y $n=-2$

$\int\frac{1}{\left(x-1\right)^2}dx+\int\frac{2x+1}{x^{2}+1}dx-2\ln\left(x-1\right)$

Aplicamos la regla: $\int\frac{n}{\left(x+a\right)^c}dx$$=\frac{-n}{\left(c-1\right)\left(x+a\right)^{\left(c-1\right)}}$, donde $a=-1$, $c=2$ y $n=1$

$\frac{-1}{x-1}+\int\frac{2x+1}{x^{2}+1}dx-2\ln\left(x-1\right)$

Expandir la fracción $\frac{2x+1}{x^{2}+1}$ en $2$ fracciones más simples con $x^{2}+1$ como denominador en común

$\frac{-1}{x-1}+\int\left(\frac{2x}{x^{2}+1}+\frac{1}{x^{2}+1}\right)dx-2\ln\left(x-1\right)$

Simplificando

$\frac{-1}{x-1}+2\int\frac{x}{x^{2}+1}dx+\int\frac{1}{x^{2}+1}dx-2\ln\left(x-1\right)$

Podemos resolver la integral aplicando la fórmula $\displaystyle\int\frac{x'}{x^2+a^2}dx=\frac{1}{a}\arctan\left(\frac{x}{a}\right)$

$\frac{-1}{x-1}+2\int\frac{x}{x^{2}+1}dx+\arctan\left(x\right)-2\ln\left(x-1\right)$

Podemos resolver la integral $2\int\frac{x}{x^{2}+1}dx$ mediante el método de integración por sustitución trigonométrica. Tomamos el cambio de variable

$x=\tan\left(\theta \right)$

Ahora, para poder reescribir $d\theta$ en términos de $dx$, necesitamos encontrar la derivada de $x$. Por lo tanto, necesitamos calcular $dx$, podemos hacerlo derivando la ecuación del paso anterior

$dx=\sec\left(\theta \right)^2d\theta$

Sustituyendo en la integral original, obtenemos

$\frac{-1}{x-1}+2\int\frac{\tan\left(\theta \right)\sec\left(\theta \right)^2}{\tan\left(\theta \right)^{2}+1}d\theta+\arctan\left(x\right)-2\ln\left(x-1\right)$

Applying the trigonometric identity: $\tan(x)^2+1=\sec(x)^2$

$\frac{-1}{x-1}+2\int\frac{\tan\left(\theta \right)\sec\left(\theta \right)^2}{\sec\left(\theta \right)^2}d\theta+\arctan\left(x\right)-2\ln\left(x-1\right)$

Simplify the fraction $\frac{\tan\left(\theta \right)\sec\left(\theta \right)^2}{\sec\left(\theta \right)^2}$ by $\sec\left(\theta \right)^2$

$\frac{-1}{x-1}+2\int\tan\left(\theta \right)d\theta+\arctan\left(x\right)-2\ln\left(x-1\right)$

La integral de la tangente de una función es igual a menos el logaritmo natural del coseno de la función, y está dada por la siguiente fórmula, $\displaystyle\int\tan(x)dx=-\ln(\cos(x))$

$\frac{-1}{x-1}-2\ln\left(\cos\left(\theta \right)\right)+\arctan\left(x\right)-2\ln\left(x-1\right)$

Expresar la variable $\theta$ términos de la variable original $x$

$\frac{-1}{x-1}-2\ln\left(\frac{1}{\sqrt{x^{2}+1}}\right)+\arctan\left(x\right)-2\ln\left(x-1\right)$

Simplificar el logaritmo $\ln\left(\frac{1}{\sqrt{x^{2}+1}}\right)$

$\frac{-1}{x-1}+2\ln\left(\sqrt{x^{2}+1}\right)+\arctan\left(x\right)-2\ln\left(x-1\right)$

El logaritmo de una potencia es igual al producto del exponente por el logaritmo de la base: $\log_a(x^n)=n\cdot\log_a(x)$

$\frac{-1}{x-1}+\ln\left(x^{2}+1\right)+\arctan\left(x\right)-2\ln\left(x-1\right)$
6

La integral $\int\frac{-2x+4}{x^4-2x^3+2x^2-2x+1}dx$ da como resultado: $\frac{-1}{x-1}+\ln\left(x^{2}+1\right)+\arctan\left(x\right)-2\ln\left(x-1\right)$

$\frac{-1}{x-1}+\ln\left(x^{2}+1\right)+\arctan\left(x\right)-2\ln\left(x-1\right)$
7

Después de juntar los resultados de todas las integrales individuales, obtenemos

$\frac{1}{2}x^2+x-2\ln\left(x-1\right)+\ln\left(x^{2}+1\right)+\arctan\left(x\right)+\frac{-1}{x-1}$
8

Como la integral que estamos resolviendo es una integral indefinida, al terminar de integrar debemos añadir la constante de integración $C$

$\frac{1}{2}x^2+x-2\ln\left(x-1\right)+\ln\left(x^{2}+1\right)+\arctan\left(x\right)+\frac{-1}{x-1}+C_0$

Respuesta Final

$\frac{1}{2}x^2+x-2\ln\left(x-1\right)+\ln\left(x^{2}+1\right)+\arctan\left(x\right)+\frac{-1}{x-1}+C_0$
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csch

asinh
acosh
atanh
acoth
asech
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Tips para mejorar tu respuesta:

$\int\frac{x^5-x^4-3x+5}{x^4-2x^3+2x^2-2x+1}dx$

Fórmulas Relacionadas:

6. Ver fórmulas

Tiempo para resolverlo:

~ 0.41 s