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Calcular la integral $\int\frac{x^5-x^4-3x+5}{x^4-2x^3+2x^2-2x+1}dx$

Solución Paso a paso

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Solución

Respuesta Final

$\frac{1}{2}x^2+x+8\ln\left(x-1\right)-\frac{7}{3}\ln\left(x^{2}+1\right)+\frac{13}{3}\arctan\left(x\right)+\frac{-1}{x-1}+C_0$
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Solución explicada paso por paso

Especifica el método de resolución

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Realizamos la división de polinomios, $x^5-x^4-3x+5$ entre $x^4-2x^3+2x^2-2x+1$

$\begin{array}{l}\phantom{\phantom{;}x^{4}-2x^{3}+2x^{2}-2x\phantom{;}+1;}{\phantom{;}x\phantom{;}+1\phantom{;}\phantom{;}}\\\phantom{;}x^{4}-2x^{3}+2x^{2}-2x\phantom{;}+1\overline{\smash{)}\phantom{;}x^{5}-x^{4}\phantom{-;x^n}\phantom{-;x^n}-3x\phantom{;}+5\phantom{;}\phantom{;}}\\\phantom{\phantom{;}x^{4}-2x^{3}+2x^{2}-2x\phantom{;}+1;}\underline{-x^{5}+2x^{4}-2x^{3}+2x^{2}-x\phantom{;}\phantom{-;x^n}}\\\phantom{-x^{5}+2x^{4}-2x^{3}+2x^{2}-x\phantom{;};}\phantom{;}x^{4}-2x^{3}+2x^{2}-4x\phantom{;}+5\phantom{;}\phantom{;}\\\phantom{\phantom{;}x^{4}-2x^{3}+2x^{2}-2x\phantom{;}+1-;x^n;}\underline{-x^{4}+2x^{3}-2x^{2}+2x\phantom{;}-1\phantom{;}\phantom{;}}\\\phantom{;-x^{4}+2x^{3}-2x^{2}+2x\phantom{;}-1\phantom{;}\phantom{;}-;x^n;}-2x\phantom{;}+4\phantom{;}\phantom{;}\\\end{array}$
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Polinomio resultado de la división

$\int\left(x+1+\frac{-2x+4}{x^4-2x^3+2x^2-2x+1}\right)dx$
3

Expandir la integral $\int\left(x+1+\frac{-2x+4}{x^4-2x^3+2x^2-2x+1}\right)dx$ en $3$ integrales usando la regla de la integral de una suma de funciones, para luego resolver cada integral por separado

$\int xdx+\int1dx+\int\frac{-2x+4}{x^4-2x^3+2x^2-2x+1}dx$
4

La integral $\int xdx$ da como resultado: $\frac{1}{2}x^2$

$\frac{1}{2}x^2$
5

La integral $\int1dx$ da como resultado: $x$

$x$
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La integral $\int\frac{-2x+4}{x^4-2x^3+2x^2-2x+1}dx$ da como resultado: $\frac{-1}{x-1}-\frac{7}{3}\ln\left(x^{2}+1\right)+\frac{13}{3}\arctan\left(x\right)+8\ln\left(x-1\right)$

$\frac{-1}{x-1}-\frac{7}{3}\ln\left(x^{2}+1\right)+\frac{13}{3}\arctan\left(x\right)+8\ln\left(x-1\right)$
7

Después de juntar los resultados de todas las integrales individuales, obtenemos

$\frac{1}{2}x^2+x+8\ln\left(x-1\right)-\frac{7}{3}\ln\left(x^{2}+1\right)+\frac{13}{3}\arctan\left(x\right)+\frac{-1}{x-1}$
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Como la integral que estamos resolviendo es una integral indefinida, al terminar de integrar debemos añadir la constante de integración $C$

$\frac{1}{2}x^2+x+8\ln\left(x-1\right)-\frac{7}{3}\ln\left(x^{2}+1\right)+\frac{13}{3}\arctan\left(x\right)+\frac{-1}{x-1}+C_0$

Respuesta Final

$\frac{1}{2}x^2+x+8\ln\left(x-1\right)-\frac{7}{3}\ln\left(x^{2}+1\right)+\frac{13}{3}\arctan\left(x\right)+\frac{-1}{x-1}+C_0$

Explora distintas formas de resolver este problema

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Gráfico de la Función

Gráfico de: $\frac{1}{2}x^2+x+8\ln\left(x-1\right)-\frac{7}{3}\ln\left(x^{2}+1\right)+\frac{13}{3}\arctan\left(x\right)+\frac{-1}{x-1}+C_0$

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