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Resolver la ecuación diferencial $\frac{dy}{dx}=\frac{2x}{3y^2}$

Solución Paso a paso

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Respuesta Final

$y=\sqrt[3]{x^2+C_0}$
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Solución explicada paso por paso

Especifica el método de resolución

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Reescribir la ecuación diferencial en la forma estándar $M(x,y)dx+N(x,y)dy=0$

$3y^2dy-2xdx=0$
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La ecuación diferencial $3y^2dy-2xdx=0$ es exacta, ya que está escrita en su forma estándar $M(x,y)dx+N(x,y)dy=0$, donde $M(x,y)$ y $N(x,y)$ constituyen las derivadas parciales de la función de dos variables $f(x,y)$ y ambas satisfacen la prueba de exactitud: $\displaystyle\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}$. En otras palabras, sus segundas derivadas parciales son iguales. La solución general de la ecuación diferencial es de la forma: $f(x,y)=C$

$3y^2dy-2xdx=0$

Derivar $M(x,y)$ con respecto a $y$

$\frac{d}{dy}\left(-2x\right)$

La derivada de la función constante ($-2x$) es igual a cero

0

Derivar $N(x,y)$ con respecto a $x$

$\frac{d}{dx}\left(3y^2\right)$

La derivada de la función constante ($3y^2$) es igual a cero

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Mediante la prueba de exactitud, comprobamos que la ecuacioó diferencial es exacta

$0=0$

La integral de una función multiplicada por una constante ($-2$) es igual a la constante multiplicada por la integral de la función

$-2\int xdx$

La integral de una potencia está dada por la siguiente fórmula, $\displaystyle\int x^n dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}$, donde $n$ representa a un número o función constante, en este caso $n=1$

$-x^2$

Como $y$ es tratada como una constante, debemos agregar una función de $y$ como constante de integración

$-x^2+g(y)$
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Integramos $M(x,y)$ con respecto a $x$ para obtener

$-x^2+g(y)$

La derivada de la función constante ($-x^2$) es igual a cero

0

La derivada de $g(y)$ es $g'(y)$

$0+g'(y)$
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Calcular la derivada parcial de $-x^2$ con respecto a $y$ para obtener

$0+g'(y)$

Simplificar y despejar $g'(y)$

$3y^2=0+g$

$x+0=x$, donde $x$ es cualquier expresión

$3y^2=g$

Reorganizar la ecuación

$g=3y^2$
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Igualamos $3y^2$ y $0+g'(y)$ y luego despejamos $g'(y)$

$g'(y)=3y^2$

Integrar ambos lados con respecto a $y$

$g=\int3y^2dy$

La integral de una función multiplicada por una constante ($3$) es igual a la constante multiplicada por la integral de la función

$g=3\int y^2dy$

La integral de una potencia está dada por la siguiente fórmula, $\displaystyle\int x^n dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}$, donde $n$ representa a un número o función constante, como $2$

$g=1y^{3}$

Cualquier expresión algebraica multiplicada por uno es igual a esa misma expresión

$g=y^{3}$
7

Encontrar $g(y)$ integrando a ambos lados

$g(y)=y^{3}$
8

Hemos encontrado nuestra $f(x,y)$ y equivale a

$f(x,y)=-x^2+y^{3}$
9

Entonces, la solución a la ecuación diferencial es

$-x^2+y^{3}=C_0$

Agrupar los términos de la ecuación

$y^{3}=x^2+C_0$

Eliminamos el exponente de la incógnita elevando ambos lados de la ecuación al exponente $\frac{1}{3}$

$\left(y^{3}\right)^{\frac{1}{3}}=\left(x^2+C_0\right)^{\frac{1}{3}}$

Dividir $1$ entre $3$

$\sqrt[3]{y^{3}}=\left(x^2+C_0\right)^{\frac{1}{3}}$

Simplificar $\sqrt[3]{y^{3}}$ aplicando la regla de potencia de una potencia: $\left(a^m\right)^n=a^{m\cdot n}$. En la expresión, $m$ es igual a $3$ y $n$ es igual a $\frac{1}{3}$

$y^{3\frac{1}{3}}$

Multiplicar $3$ por $\frac{1}{3}$

$y$

Multiplicar $3$ por $\frac{1}{3}$

$y=\left(x^2+C_0\right)^{\frac{1}{3}}$

Dividir $1$ entre $3$

$y=\sqrt[3]{x^2+C_0}$
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Encontrar la solución explícita a la ecuación diferencial. Necesitamos despejar la variable $y$

$y=\sqrt[3]{x^2+C_0}$

Respuesta Final

$y=\sqrt[3]{x^2+C_0}$

Explora distintas formas de resolver este problema

Resolver un ejercicio matemático utilizando diferentes métodos es importante porque mejora la comprensión, fomenta el pensamiento crítico, permite múltiples soluciones y desarrolla distintas estrategias de resolución de problemas. Leer más

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Gráfico de la Función

Gráfico de: $\frac{dy}{dx}+\frac{-2x}{3y^2}$

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